主题
Search

抛物线弓形

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本
ParabolicSegment

抛物线弓形的 弧长

y=h(1-(x^2)/(a^2))
(1)

如上图所示，由下式给出

s=int_(-a)^asqrt(1+y^('2))dx
(2)
=2int_0^asqrt(1+y^('2))dx
(3)
=sqrt(a^2+4h^2)+(a^2)/(2h)sinh^(-1)((2h)/a),
(4)

面积由下式给出

A=int_(-a)^ah(1-(x^2)/(a^2))dx
(5)
=4/3ah
(6)

（Kern 和 Bland，1948 年，第 4 页）。 y 的加权平均值为

<y>=int_(-a)^aint_0^(h(1-x^2/a^2))ydxdy
(7)
=8/(15)ah^2,
(8)

因此，几何质心 由下式给出

y^_=(<y>)/A
(9)
=2/5h.
(10)
ParabolicSegment2

曲线之间截断的抛物线弓形的 面积

y=x^2
(11)
y=ax+b
(12)

可以通过消除 y 来找到，

x^2-ax-b=0,
(13)

因此，交点为

x_+/-=1/2(a+/-sqrt(a^2+4b)),
(14)

对应的 y-坐标 y_+/-=x_+/-^2。因此，面积 由下式给出

A=int_(a-sqrt(a^2+4b))^(a+sqrt(a^2+4b))[(ax+b)-x^2]dx
(15)
=1/6(a^2+4b)sqrt(a^2+4b)
(16)
=1/6(a^2+4b)^(3/2).
(17)

内接于此弓形的 三角形 的最大 面积 将使其两个 多边形顶点 位于交点 (x_-,y_-) 和 (x_+,y_+)，第三个顶点位于待确定的点 (x^*,y^*)。根据三角形的一般方程，内接三角形的 面积 由 行列式 方程给出

A_Delta=|x^- y^- 1; x^+ y^+ 1; x^* y^* 1|.
(18)

代入并使用 y_*=x_*^2 得到

A_Delta=1/2[b+(a-x^*)x^*]sqrt(a^2+4b).
(19)

为了找到最大 面积，对 x^* 求导并设为 0 以获得

(partialA_Delta)/(partialx_*)=1/2(a-2x^*)sqrt(a^2+4b)=0,
(20)

因此

x_*=1/2a.
(21)

然后将 (21) 代入 (19) 得到

A=1/8(a^2+4b)^(3/2).
(22)

这导出了公元前三世纪阿基米德已知的结论，即

A/(A_Delta)=(1/6)/(1/8)=4/3.
(23)

另请参阅

圆弓形, 几何质心, 抛物线

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. (Ed.). CRC 标准数学表，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 125, 1987.Kern, W. F. and Bland, J. R. 带证明的立体测量，第 2 版 New York: Wiley, p. 4, 1948.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Parabolic Segment." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ParabolicSegment.html

主题分类