折叠

有许多与折叠相关的数学和趣味问题。折纸，这门日本的纸张折叠艺术，就是一个著名的例子。

通过多次折叠一张纸，然后进行一次完整的直线切割，再展开，可以制作出各种令人惊叹的形状。例如，经过四次折叠可以制作出一个五角星（Demaine 和 Demaine 2004, p. 23），同样也可以制作出多边形的天鹅、蝴蝶和天使鱼（Demaine 和 Demaine 2004, p. 29）。令人惊奇的是，每一种多边形形状都可以通过这种方式制作出来，任何不连通的多边形形状组合也可以（Demaine 和 Demaine 2004, p. 25）。此外，Bern et al. (2001) 和 Demaine et al. (1998, 1999) 已经设计出用于确定给定形状折叠模式的算法。

Wells（1986, p. 37; Wells 1991）以及 Gurkewitz 和 Arnstein（2003, pp. 49-59）阐述了使用纸张折叠构造等边三角形、正五边形（如上图所示）、六边形、七边形、八边形和十边形的方法。

创建 边形（对于 ）所需的最少折叠次数尚不清楚，但已知一些边界。特别地，每组 个点都是一个合适的正 边形在最多 次折叠下的图像，其中

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最初的几个值是 0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, ... (OEIS A007494)。

通过一次折叠从 可访问的点，且这些折叠保持 , ..., 固定，恰好是那些位于或在通过 且中心位于 的圆的交集边界内的点，对于 , ..., 。给定平面上的任意三个点 、 和 ，存在一个等边三角形，其多边形顶点为 、 和 ，其中 、 和 是 、 和 在单次折叠下的图像。

给定平面上的任意四个点 、、 和 ，存在一个正方形，其多边形顶点为 、、 和 ，其中 、、 和 是 、、 和 在最多三次折叠序列下的图像。此外，任何四个共线点都是一个合适的正方形的多边形顶点在最多两次折叠下的图像。每五个（六个）点都是一个合适的正五边形（六边形）的多边形顶点在最多五次（六次）折叠下的图像。

假设可以无限制地折叠纸张，则每次折叠后，折叠纸张的高度都会增加一倍厚度。由于一张典型的 20 磅纸的厚度约为 0.1 毫米，因此折叠 50 次（如果物理上可行，当然这是不可能的）会产生高度为 米的纸堆，再折叠一次，纸堆的高度将超过地球与太阳之间的距离。

函数

(2)

给出了将纸张对折的损失函数，其中 是材料的最小可能长度， 是厚度， 是给定方向上可能的折叠次数。这个公式表明了在 次折叠中损失了多少“标准化”纸张，从而限制了有限厚度的物体在一个方向上可以折叠的次数 (波莫纳谷历史学会)。对于 , 1, 2, ... 序列 给出 0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, ... (OEIS A076024)。这个公式是由高中生 Britney Gallivan 在 2001 年 12 月推导出来的。Britney 随后在 2002 年 1 月创造了一项新的世界纪录，她先是将金箔对折，然后将纸张对折了惊人的 12 次，从而推翻了 Math@Home 和 PBS Kids 关于纸张对折次数不能超过八次的说法。Britney 和她的壮举在电视犯罪剧集NUMB3RS第一季的剧集“身份危机”（2005 年）中被提及。