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九分之一常数

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设 lambda_(m,n) 为 切比雪夫常数。 Schönhage (1973) 证明了

lim_(n->infty)(lambda_(0,n))^(1/n)=1/3.
(1)

有人猜想数字

Lambda=lim_(n->infty)(lambda_(n,n))^(1/n)=1/9.
(2)

数字 Lambda 因此被称为“九分之一常数”或 Halphen 常数（Finch 2003，p. 261），其倒数 V=1/Lambda 有时被称为 Varga 常数。 1981 年，N. Trefethen (Trefethen 和 Gutknecht 1983) 通过计算 Varga 常数 驳斥了 Lambda=1/9 的猜想，结果为

V approx 9.28903
(3)

(OEIS A073007)。 在 1981 年 5 月 23 日做出这一发现后，Trefethen（当时是斯坦福大学的研究生）非常激动，以至于他给在苏黎世的合著者 M. Gutknecht 发了一份电报，内容很简单：“9.28903？” Carpenter等人。(1984) 随后通过计算证实了这一结果

Lambda=0.1076539192...
(4)

(OEIS A072558) 数值。

Gonchar 和 Rakhmanov 表明极限存在，并在 1986 年正式反驳了 1/9 猜想，Gonchar 在加利福尼亚州伯克利举行的国际数学家大会上介绍了这一结果。 Magnus (1986, 1988) 随后表明 Lambda 正好由下式给出

Lambda=exp[-(piK(sqrt(1-c^2)))/(K(c))],
(5)

其中 K 是第一类完全椭圆积分，并且

c=0.9089085575485414...
(6)

(OEIS A086199) 是参数，它解决了

K(k)=2E(k),
(7)

并且 E 是第二类完全椭圆积分。

Lambda 也由以下方程的唯一 正 根 给出

f(z)=1/8,
(8)

其中

f(z)=sum_(j=1)^inftya_jz^j
(9)

和

a_j=|sum_(d|j)(-1)^dd|
(10)

(Gonchar 和 Rakhmanov 1987)。 a_j 也可以通过将 j 写成

j=2^mp_1^(m_1)p_2^(m_2)...p_k^(m_k),
(11)

其中 m>=0 且 m_i>=1，然后

a_j=|2^(m+1)-3|(p_1^(m_1+1)-1)/(p_1-1)(p_2^(m_2+1)-1)/(p_2-1)...(p_k^(m_k+1)-1)/(p_k-1)
(12)

(Gonchar 和 Rakhmanov 1987)。

对于 f(z) 的生成函数由下式给出

f(q)=-sum_(n=1)^(infty)((-q)^n)/([1+(-q)^n]^2)
(13)
=sum_(n=1)^(infty)(nq^n)/(1-(-q)^n)
(14)
=1/8[1-(2/pi)^2[2E(k)-K(k)]K(k)],
(15)

其中 K(k) 和 E(k) 分别是第一类和第二类完全椭圆积分，并且椭圆模量 k 以 nome q 表示 (M. Somos，私人通讯，2006 年 7 月 27 日)。

Magnus (1988) 给出了 Lambda 的另一个方程。Lambda 是 x in (0,1) 中

sum_(k=0)^infty(2k+1)^2(-x)^(k(k+1)/2)=0,
(16)

方程的唯一解，Halphen 在 1886 年研究过该方程并计算了其根。 因此有人建议（Varga 1990）将该常数称为 Halphen 常数。

另请参阅

切比雪夫常数, Varga 常数

使用 探索

参考文献

Carpenter, A. J.; Ruttan, A.; 和 Varga, R. S. "关于有理逼近理论中 '1/9' 猜想的扩展数值计算。" 在 有理逼近和插值 (坦帕, 佛罗里达州, 1983) (编辑 P. R. Graves-Morris, E. B. Saff, 和 R. S. Varga)。 纽约: Springer-Verlag, pp. 383-411, 1984.Cody, W. J.; Meinardus, G.; 和 Varga, R. S. "对 e^(-x) 在 [0,+infty) 中的切比雪夫有理逼近以及在热传导问题中的应用。" J. Approx. Th. 2, 50-65, 1969.Dunham, C. B. 和 Taylor, G. D. "最佳倒数多项式逼近在 [0,infty) 上的连续性。" J. Approx. Th. 30, 71-79, 1980.Finch, S. R. "‘九分之一’常数。" §4.5 在 数学常数。 英国剑桥: 剑桥大学出版社, pp. 259-262, 2003.Gonchar, A. A. "解析函数的有理逼近。" Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 147, 25-34, 1990.Gonchar, A. A. 和 Rakhmanov, E. A. "解析函数的平衡分布和有理逼近程度。" Math. USSR Sbornik 62, 305-348, 1980.Gonchar, A. A. 和 Rakhmanov, E. A. "解析函数的平衡分布和有理逼近率。" Mat. Sbornik 34, 306-352, 1987. 重印于 Math. USSR Sbornik 62, 305-348, 1989.Magnus, A. P. "Varga 常数 '1/9' 的 CFGT 确定。" Inst. Preprint B-1348. 比利时: Inst. Math. U.C.L., 1986.Magnus, A. P. "关于使用 Carathéodory-Fejér 方法研究 '1/9' 和类似常数。" 在 非线性数值方法和有理逼近 (Wilrijk, 1987)。 荷兰多德雷赫特: Reidel, pp. 105-132, 1988.Rahman, Q. I. 和 Schmeisser, G. "指数函数的有理逼近。" 在 Padé 和有理逼近，（国际研讨会论文集，南佛罗里达大学，坦帕，佛罗里达州，1976 年） (编辑 E. B. Saff 和 R. S. Varga)。 纽约: Academic Press, pp. 189-194, 1977.Schönhage, A. "关于 e^(-x) 在 [0,infty) 上的有理逼近性。" J. Approx. Th. 7, 395-398, 1973.Sloane, N. J. A. 序列 A072558, A073007, 和 A086199 在 "整数序列在线百科全书" 中。Trefethen, L. N. 和 Gutknecht, M. H. "实有理逼近的 Caratheodory-Fejer 方法。" SINUM 20, 420-436, 1983.Varga, R. S. 数学问题和猜想的科学计算。 宾夕法尼亚州费城: SIAM, 1990.

在 中被引用

九分之一常数

引用为

Weisstein, Eric W. "九分之一常数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/One-NinthConstant.html

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