Logistic Map--r=4

当时，logistic map 变为

(1)

这等价于的 tent map。上图展示了该映射的前 50 次迭代，初始值为和 0.71。

解可以写成以下形式

$x_n=1/2{1-f[r^nf^(-1)(1-2x_0)]},$

(2)

其中

(3)

且是它的反函数（Wolfram 2002, p. 1098）。显式地，这给出了三个等价形式

		$1/2{1-cos[2^ncos^(-1)(1-2x_0)]}$	(4)
		$1/2{1-cosh[2^ncosh^(-1)(1-2x_0)]}$	(5)
			(6)

为了研究方程的性质，令

(7)

(8)

(9)

所以

(10)

操作 (7) 得到

		$41/2[1-cos(piy_n)]{1-1/2[1-1/2(1-cos(piy_n))]}$	(11)
			(12)

所以

(13)

(14)

但是。取 , 则且

(15)

对于 , 且

(16)

结合得到

$y_(n+1)={2y_n for y_n in [0,1/2]; 2-2y_n for y_n in [1/2,1],$

(17)

可以写成

(18)

这正是的 tent map，其在中的自然不变测度是

(19)

因此，变换回得到

			(20)
			(21)
			(22)

这也可以从以下公式推导出来

(23)

其中是 delta 函数。

参考文献

Whittaker, J. V. "混沌行为的一些简单案例的分析描述。" Amer. Math. Monthly 98, 489-504, 1991.

Wolfram, S. 一种新科学。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1098, 2002.

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