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线性稳定性

考虑两个一阶常微分方程的一般系统

x^.=f(x,y)
(1)
y^.=g(x,y).
(2)

令 x_0 和 y_0 表示固定点，其中 x^.=y^.=0，因此

f(x_0,y_0)=0
(3)
g(x_0,y_0)=0.
(4)

然后围绕 (x_0,y_0) 展开，因此

deltax^.=f_x(x_0,y_0)deltax+f_y(x_0,y_0)deltay+f_(xy)(x_0,y_0)deltaxdeltay+...
(5)
deltay^.=g_x(x_0,y_0)deltax+g_y(x_0,y_0)deltay+g_(xy)(x_0,y_0)deltaxdeltay+....
(6)

一阶近似，得到

d/(dt)[deltax; deltay]=[f_x(x_0,y_0) f_y(x_0,y_0); g_x(x_0,y_0) g_y(x_0,y_0)][deltax; deltay],
(7)

其中 2×2 矩阵 称为稳定性矩阵。

一般而言，给定一个 n 维映射 x^'=T(x)，令 x_0 为一个固定点，使得

T(x_0)=x_0.
(8)

围绕固定点展开，

T(x_0+deltax)=T(x_0)+(partialT)/(partialx)deltax+O(deltax)^2
(9)
=T(x_0)+deltaT,
(10)

因此

deltaT=(partialT)/(partialx)deltax=Adeltax.
(11)

通过找到矩阵 A 的特征向量和特征值，可以将映射变换到主轴坐标系。

(A-lambdaI)deltax=0,
(12)

因此行列式

|A-lambdaI|=0.
(13)

映射是

deltax_(princ)^'=[lambda_1 ... 0; | ... |; 0 ... lambda_n].
(14)

当迭代多次时，deltaT_(princ)^'->0 仅当对于所有 R[lambda_i]<0 i 时，但如果任何 R[lambda_i]>0 则 deltaT_(princ)^'->infty。因此，对 A 的特征值（和特征向量）的分析表征了固定点的类型。

另请参阅

固定点，李雅普诺夫函数，非线性稳定性，稳定性矩阵

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参考资料

Tabor, M. "线性稳定性分析。" §1.4 in 非线性动力学中的混沌与可积性：导论。 纽约：Wiley，第 20-31 页，1989 年。

在 中引用

线性稳定性

引用为

Weisstein, Eric W. "线性稳定性。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LinearStability.html

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