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李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数是一个定义在区域 D 上的标量函数 V(y)，它是连续的，正定的，(V(y)>0 对于所有 y!=0)，并且在 D 的每一点都具有连续的一阶偏导数。 V 关于系统 y^'=f(y) 的导数，记为 V^*(y)，定义为点积

V^*(y)=del V(y)·f(y).
(1)

对于某个包含原点的区域 D，如果存在一个李雅普诺夫函数使得 V^*(y)<=0，则保证了 y^'=f(y) 的零解的稳定性；而对于某个包含原点的区域 D，如果存在一个李雅普诺夫函数使得 V^*(y) 是负定的，则保证了 y^'=f(y) 的零解的渐近稳定性。

例如，给定系统

y^'=z
(2)
z^'=-y-2z
(3)

以及李雅普诺夫函数 V(y,z)=(y^2+z^2)/2，我们得到

V^*(y,z)=yz+z(-y-2z)=-2z^2,
(4)

这在每个包含原点的区域上都是非递增的，因此零解是稳定的。

另请参阅

线性稳定性, 非线性稳定性

此条目由 Martin Keller-Ressel 贡献

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参考文献

Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th 版. New York: Wiley, pp. 502-512, 1992.Brauer, F. and Nohel, J. A. The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations: An Introduction. New York: Dover, 1989.Hahn, W. Theory and Application of Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1963.Jordan, D. W. and Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations. Oxford, England: Clarendon Press, p. 283, 1977.Kalman, R. E. and Bertram, J. E. "Control System Analysis and Design Via the 'Second Method' of Liapunov, I. Continuous-Time Systems." J. Basic Energ. Trans. ASME 82, 371-393, 1960.Oguztöreli, M. N.; Lakshmikantham, V.; and Leela, S. "An Algorithm for the Construction of Liapunov Functions." Nonlinear Anal. 5, 1195-1212, 1981.Zwillinger, D. "Liapunov Functions." §120 in Handbook of Differential Equations, 3rd 版. Boston, MA: Academic Press, pp. 429-432, 1997.

在 上被引用

李雅普诺夫函数

请引用为

Keller-Ressel, Martin. “李雅普诺夫函数。” 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/LyapunovFunction.html

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