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拉格朗日恒等式

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拉格朗日恒等式是代数恒等式

(sum_(k=1)^na_kb_k)^2=(sum_(k=1)^na_k^2)(sum_(k=1)^nb_k^2)-sum_(1<=k<j<=n)(a_kb_j-a_jb_k)^2
(1)

(Mitrinović 1970, 第 41 页; Marsden 和 Tromba 1981, 第 57 页; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, 第 1049 页)。

拉格朗日恒等式是 Binet-Cauchy 恒等式 的一个特例，并且 柯西不等式 在 n 维度中可以由此推导出来。

它可以用 Wolfram 语言 编码如下。

  LagrangesIdentity[n_] := Module[
    {aa = Array[a, n], bb = Array[b, n]},
   Total[(aa^2) Plus @@ (bb^2)] ==
   Total[(a[#1]b[#2] - a[#2]b[#1])^2& @@@
      Subsets[Range[n], {2}]] + (aa.bb)^2
  ]

代入得到 n=2 和 n=3 恒等式

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2
(2)
(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2
(3)
+[(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1b_3-a_3b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2].
(4)

一个被称为拉格朗日恒等式的 向量四重积 公式由下式给出

(axb)·(cxd)=(a·c)(b·d)-(b·c)(a·d)
(5)

(Bronshtein 和 Semendyayev 2004, 第 185 页)。

另一个也称为拉格朗日恒等式的相关恒等式由定义 a_k 和 b_k 为 n 维向量 (对于 k=1, ..., n-1) 给出。那么

(a_1×...×a_(n-1))·(b_1×...×b_(n-1))=|a_1·b_1 ... a_1·b_(n-1); | ... |; a_(n-1)·b_1 ... a_(n-1)·b_(n-1)|
(6)

(Greub 1978, 第 155 页), 其中 AxB 表示 叉积, A·B 表示 点积, 并且 detA 是 矩阵 A 的 行列式。

另请参阅

Binet-Cauchy 恒等式, 柯西不等式, 向量三重积, 向量四重积

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 32, 1985.Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, G.; and Muehlig, H. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, p. 13, 1981.Greub, W. Multilinear Algebra, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1978.Marsden, J. E. and Tromba, A. J. Vector Calculus, 2nd ed. New York: W. H. Freeman, 1981.Mitrinović, D. S. Analytic Inequalities. New York: Springer-Verlag, 1970.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 114, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉格朗日恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. “拉格朗日恒等式。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LagrangesIdentity.html

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