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Binet-柯西恒等式

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代数恒等式

(sum_(i=1)^na_ic_i)(sum_(i=1)^nb_id_i)-(sum_(i=1)^na_id_i)(sum_(i=1)^nb_ic_i) =sum_(1<=i<j<=n)(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i).
(1)

令 c_i=a_i 和 d_i=b_i 得到 拉格朗日恒等式。

的情况给出

(a_1c_1+a_2c_2)(b_1d_1+b_2d_2)-(b_1c_1+b_2c_2)(a_1d_1+a_2d_2) =(a_1b_2-a_2b_1)(c_1d_2-c_2d_1).
(2)

的情况等价于向量恒等式

(AxB)·(CxD)=(A·C)(B·D)-(A·D)(B·C)
(3)

(Morse 和 Feshbach 1953, p. 114; Griffiths 1981, p. 13; Arfken 1985, p. 32)，其中 A·B 是点积， 是 AxB 叉积。请注意，这个恒等式本身有时被称为拉格朗日恒等式 (Bronshtein 和 Semendyayev 2004, p. 185)。

另请参阅

拉格朗日恒等式

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参考资料

Arfken, G. "Triple Scalar Product, Triple Vector Product." §1.5 in 物理学家数学方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, G.; and Muehlig, H. 数学手册，第 4 版 New York: Springer-Verlag, 2004.Griffiths, D. J. 电动力学导论 Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1981.Mitrinović, D. S. 解析不等式 New York: Springer-Verlag, p. 42, 1970.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理学方法，第一部分 New York: McGraw-Hill, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中引用

Binet-柯西恒等式

引用为

Weisstein, Eric W. "Binet-柯西恒等式。" 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Binet-CauchyIdentity.html

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