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逆高斯分布

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逆高斯分布，也称为 Wald 分布，是定义在 [0,infty) 上的分布，其具有 概率密度函数 和 分布函数，由下式给出

P(x)=sqrt(lambda/(2pix^3))e^(-lambda(x-mu)^2/(2xmu^2))
(1)
D(x)=1/2{1+erf[sqrt(lambda/(2x))(x/mu-1)]}+1/2e^(2lambda/mu){1-erf[sqrt(lambda/(2x))(x/mu+1)]},
(2)

其中 mu>0 是均值，lambda>0 是比例参数。

逆高斯分布在 Wolfram 语言 中的实现为InverseGaussianDistribution[mu, lambda].

第 n 阶 原点矩 由下式给出

mu_n^'=e^(lambda/mu)sqrt((2lambda)/pi)mu^(n-1/2)K_(1/2-n)(lambda/mu),
(3)

其中 K_n(z) 是第二类修正 Bessel 函数，给出前几阶矩为

mu_1^'=mu
(4)
mu_2^'=(mu^2(lambda+mu))/lambda
(5)
mu_3^'=(mu^3(lambda^2+3lambdamu+3mu^2))/(lambda^2).
(6)

使用 K_(-n-1)(z)=(2n/z)K_(-n)(z)+K_(-n)(z) 给出了原点矩的递归关系，如下所示

mu_(n+1)^'=((2n-1)mu^2)/lambdamu_n^'+mu^2mu_(n-1)^'.
(7)

前几阶 中心矩 为

mu_2=(mu^3)/lambda
(8)
mu_3=(3mu^5)/(lambda^2)
(9)
mu_4=(3mu^6(lambda+5mu))/(lambda^3).
(10)

累积量 kappa_n 由下式给出

kappa_(n+1)=((2n)!)/(2^nn!mu^(2n+1)lambda^n).
(11)

方差、偏度 和 超额峰度 由下式给出

sigma^2=(mu^3)/lambda
(12)
gamma_1=3sqrt(mu/lambda)
(13)
gamma_2=(15mu)/lambda.
(14)

另请参阅

正态分布

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请引用为

Weisstein, Eric W. “逆高斯分布。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseGaussianDistribution.html

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