Hopf-Rinow定理

设 为一个 黎曼流形，并令 上的拓扑度量通过取连接两点的曲线长度的下确界来定义。那么 Hopf-Rinow 定理指出以下陈述是等价的

1. 是测地完备的，即，所有测地线对所有时间都有定义。

2. 在某个点 处是测地完备的，即，所有通过 的测地线对所有时间都有定义。

3. 满足 Heine-Borel 性质，即，每个闭有界集是紧致的。

4. 是度量完备的。