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格雷戈里级数

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GregorySeries

格雷戈里级数是由格雷戈里和莱布尼茨发现的 pi 公式，通过代入 x=1 到 莱布尼茨级数 得到，

pi/4=sum_(k=1)^infty((-1)^(k+1))/(2k-1)=1-1/3+1/5-...
(1)

（Wells 1986, p. 50）。这个公式收敛速度非常慢，但其收敛速度可以使用某些变换来加速，特别是

pi=sum_(k=1)^infty(3^k-1)/(4^k)zeta(k+1),
(2)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函数 (Vardi 1991)。

取部分级数得到解析结果

4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi+(-1)^N[psi_0(1/4+1/2N)-psi_0(3/4+1/2N)].
(3)

令人惊讶的是，关于无穷大展开得到级数

4sum_(k=1)^N((-1)^(k+1))/(2k-1)=pi-(-1)^Nsum_(k=0)^infty(E_(2k))/(4^kN^(2k+1))
(4)

（Borwein 和 Bailey 2003, p. 50），其中 E_n 是 欧拉数。这意味着在 10 的大幂的一半处截断格雷戈里级数可以得到 pi 的十进制展开，其十进制数字在很大程度上是正确的，但错误数字以精确的规律出现。例如，取 N=5×10^6 得到

GregorySeriesDigits

其中差异序列正好是欧拉（正割）数的两倍。事实上，早在截断级数的闭合形式已知之前，J. R. North 在 1988 年就观察到了这种数字模式（Borwein 和 Bailey 2003, p. 49; Borwein et al. 2004, p. 29）。

另请参阅

格雷戈里公式, 莱布尼茨级数, 马青公式, 类马青公式, 墨卡托级数, Pi 公式

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参考文献

Borwein, J. 和 Bailey, D. "格雷戈里级数中的一个奇怪的异常现象。" §2.2 in 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 48-50, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. "重新审视格雷戈里级数。" §1.8.1 in 数学实验：通往发现的计算路径。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 28-30, 2004.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Dilcher, K. "Pi、欧拉数和渐近展开。" Amer. Math. Monthly 96, 681-687, 1989.Vardi, I. Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 157-158, 1991.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 50, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

格雷戈里级数

引用为

Weisstein, Eric W. "格雷戈里级数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GregorySeries.html

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