Paris-Harrington定理

Paris-Harrington定理是对有限拉姆齐定理的加强，它要求同质集合足够大，使得。 显然，该陈述可以用算术的一阶语言表示。 它在二阶算术中很容易证明，但在皮亚诺算术的一阶逻辑中是不可证明的（Paris and Harrington 1977; Borwein and Bailey 2003, p. 34）。

Paris 和 Harrington 最初的不可证明性证明使用了模型论的论证。 在任何模型中，Paris-Harrington 原理在其非标准实例中允许构造一个初始段，该初始段是皮亚诺算术的模型。 此外，还可以得出函数，对于任何将元组的着色成种颜色，都存在是的大小为的子集，它相对较大，并且使得最终支配每个在皮亚诺算术中可证明递归的函数。

后来，J. Ketonen 和 R. Solovay 引入了另一种使用序数证明该定理不可证明性的方法。