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Gauss-Kuzmin 分布

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Gauss-Kuzmin 分布是正整数 k 在随机（或“通用”）实数的连分数中出现的分布。

考虑为实数 x 定义的 xi_n：

xi_n=a_n+1/(a_(n+1)+1/(a_(n+2)+...))
(1)
=a_n+1/(xi_(n+1)),
(2)

因此 1/xi_(n+1) 是 xi_n 的小数部分。这可以通过以下递归方式定义：

a_n=|_1/(xi_(n-1))_|
(3)

和

xi_n=1/(xi_(n-1))-a_n
(4)

其中 xi_(-1)=x 并且 a_n 只是连分数 x=[a_0;a_1,...] 的第 n 项。

GaussKuzminHistogram

Gauss 在 1812 年 1 月 30 日写给 Laplace 的一封信中考虑了分布 frac(xi_n)。在信中，Gauss 说他可以通过一个简单的论证证明，如果 F_n(x)，有时也表示为 omega_n(x) (Havil 2003, p. 156)，是随机数 x 的 fracxi_n<x 的概率，那么

lim_(n->infty)F_n(x)=lg(1+x)
(5)

(Rockett 和 Szüsz 1992, pp. 151-152; Knuth 1998, p. 341; Havil 2003, p. 157)。上面说明了 frac(xi_n) 对于 pi、欧拉-马歇罗尼常数 gamma、卡塔兰常数 K 和 自然对数 2 ln2 的 5000 项的直方图。

然而，Gauss 无法描述以下公式中修正项的行为：

F_n(x)=lg(1+x)+epsilon_n.
(6)

Kuz'min (1928) 发表了对 F_n(x) 的渐近行为的首次分析，得到

F_n(x)=lg(1+x)+O(q^(sqrt(n)))
(7)

其中 0<q<1。Lévy (1929) 使用不同的方法得到

F_n(x)=lg(1+x)+O(q^n)
(8)

其中 q=0.7。Wirsing (1974) 随后证明（除其他结果外），

lim_(n->infty)(F_n(x)-lg(1+x))/((-lambda)^n)=Psi(x),
(9)

其中 lambda 是一个常数，称为 Gauss-Kuzmin-Wirsing 常数，Psi(x) 是一个解析函数，且 Psi(0)=Psi(1)=0。

GaussKuzminDistribution

从 Gauss 的结果可以得出

P(a_n=k)=-lg[1-1/((k+1)^2)]
(10)
=lg[1+1/(k(k+2))]
(11)

(Bailey et al. 1997; Havil 2003, p. 158)，其中 lgx=log_2x 并且 “Kuzmin” 有时也写为 “Kuz'min”。上面的图显示了 pi、sin1、欧拉-马歇罗尼常数 gamma 和 Copeland-Erdős 常数 C 的连分数的首 500 项的分布。分布已正确归一化，因为

-sum_(k=1)^inftylg[1-1/((k+1)^2)]=1.
(12)

另请参阅

连分数, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Babenko, K. I. "On a Problem of Gauss." Soviet Math. Dokl. 19, 136-140, 1978.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Daudé, H.; Flajolet, P.; and Vallé, B. "An Average-Case Analysis of the Gaussian Algorithm for Lattice Reduction." Combin. Probab. Comput. 6, 397-433, 1997.Durner, A. "On a Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy." Arch. Math. 58, 251-256, 1992.Finch, S. R. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." §2.17 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 151-156, 2003.Havil, J. Gamma: 探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 155-159, 2003.Khinchin, A. Ya. "Gauss's Problem and Kuz'min's Theorem." §15 in 连分数。 New York: Dover, pp. 71-86, 1997.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术，第 2 卷：半数值算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Kuz'min, R. O. "A Problem of Gauss." Dokl. Akad. Nauk, Ser. A, 375-380, 1928.Kuz'min, R. O. "Sur un problème de Gauss." Anni Congr. Intern. Bologne 6, 83-89, 1928.Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Rockett, A. M. and Szüsz, P. "The Gauss-Kuzmin Theorem." §5.5 in 连分数。 New York: World Scientific, pp. 151-155, 1992.Wirsing, E. "On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces." Acta Arith. 24, 507-528, 1974.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Gauss-Kuzmin 分布

请引用为

Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin 分布。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Gauss-KuzminDistribution.html

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