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费雷数列

费雷数列 F_n 对于任何正整数 n 是不可约有理数 a/b 的集合，其中 0<=a<=b<=n 且 (a,b)=1，按递增顺序排列。前几个是

F_1={0/1,1/1}
(1)
F_2={0/1,1/2,1/1}
(2)
F_3={0/1,1/3,1/2,2/3,1/1}
(3)
F_4={0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1}
(4)
F_5={0/1,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1/1}
(5)

(OEIS A006842 和 A006843)。除了 F_1，每个 F_n 都有奇数个项，中间项始终是 1/2。

令 p/q、p^'/q^' 和 p^('')/q^('') 为费雷级数中的三个连续项。那么

qp^'-pq^'=1
(6)
(p^')/(q^')=(p+p^(''))/(q+q^('')).
(7)

这两个陈述实际上是等价的 (Hardy and Wright 1979, p. 24)。对于从现有 n 项的序列计算连续序列的方法，当 c+d<=n 时，在项 a/c 和 b/d 之间插入中值分数 (a+b)/(c+d) (Hardy and Wright 1979, pp. 25-26; Conway and Guy 1996; Apostol 1997)。给定 0<=a/b<c/d<=1 且 bc-ad=1，令 h/k 为 a/b 和 c/d 的中值。那么 a/b<h/k<c/d，并且这些分数满足单模关系

bh-ak=1
(8)
ck-dh=1
(9)

(Apostol 1997, p. 99)。

对于整数 n，费雷数列中项的数量 N(n) 是

N(n)=1+sum_(k=1)^(n)phi(k)
(10)
=1+Phi(n),
(11)

其中 phi(k) 是欧拉函数，Phi(n) 是 phi(k) 的欧拉总计函数，给出 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, ... (OEIS A005728)。函数 N(n) 的渐近极限是

N(n)∼(3n^2)/(pi^2)=0.3039635509...n^2
(12)

(OEIS A104141; Vardi 1991, p. 155)。

福特圆 提供了一种可视化费雷数列的方法。费雷数列 F_n 定义了 Stern-Brocot 树 的一个子树，通过修剪不需要的分支获得 (Graham et al. 1994)。

电视犯罪剧 NUMB3RS 的第二季剧集 "Bettor or Worse" (2006) 以费雷数列为特色。

参见

福特圆, 中值, 明科夫斯基问号函数, 序列秩, Stern-Brocot 树

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参考文献

Apostol, T. M. "Farey Fractions." §5.4 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 97-99, 1997.Beiler, A. H. "Farey Tails." Ch. 16 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966.Bogomolny, A. "Farey Series, A Story." http://www.cut-the-knot.org/blue/FareyHistory.shtml.Conway, J. H. and Guy, R. K. "Farey Fractions and Ford Circles." The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 152-154 and 156, 1996.Devaney, R. "The Mandelbrot Set and the Farey Tree, and the Fibonacci Sequence." Amer. Math. Monthly 106, 289-302, 1999.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 155-158, 2005.Farey, J. "On a Curious Property of Vulgar Fractions." London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 47, 385, 1816.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 118-119, 1994.Guy, R. K. "Mahler's Generalization of Farey Series." §F27 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 263-265, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Farey Series and a Theorem of Minkowski." Ch. 3 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 23-37, 1979.Sloane, N. J. A. Sequences A005728/M0661, A006842/M0041, A006843/M0081, and A104141 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sylvester, J. J. "On the Number of Fractions Contained in Any Farey Series of Which the Limiting Number is Given." London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. (5th Series) 15, 251, 1883.Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 155, 1991.

在 上引用

费雷数列

引用为

Weisstein, Eric W. "费雷数列。" 来自 -- 资源。 https://mathworld.net.cn/FareySequence.html

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