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数字提取算法

一种算法，允许计算给定数字的数位，而无需计算之前的数位。用于 BBP 公式 的 pi 是此类算法中最著名的，但对于 e 也存在一种算法。

Plouffe (2022) 通过定义，给出了一个特别简单的 pi 的十进制数字提取算法

pi_n=((2(-1)^(n+1)(2n)!)/(2^(2n)B_(2n)(1-2^(-n))(1-3^(-n))(1-5^(-n))(1-7^(-n))))^(1/(2n)).
(1)

那么，对于 n>=3，pi 的小数点右边第 n 位数字由下式给出

d_n=int(10frac(10^(n-1)pi_(n-1)))
(2)

其中 int(x) 是整数部分，frac(x) 是小数部分。可以使用以下公式获得类似的公式

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n)))^(1/(2n+1))=pi
(3)

和

lim_(n->infty)((2^(2n+2)(-1)^n(2n)!)/(E_(2n))(1-1/(3^(2n+1))))^(1/(2n+1))=pi,
(4)

其中 E_n 是欧拉数，它给出了一个基数为 9（或二进制）的数字提取公式 (Plouffe 2022)。对于 pi^2, pi^n, pi^(2n+1), e^pi, lnpi 和 sqrt(pi) 也可以获得类似的结果 (Plouffe 2022)。

另请参阅

BBP 公式, Pi 的数字, Pi 公式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Plouffe, S. “pi 和 pi^n 的第 n 个十进制或二进制数字的公式。” https://arxiv.org/abs/2201.12601. 2022 年 1 月 29 日。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

数字提取算法

请引用为

Weisstein, Eric W. “数字提取算法。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Digit-ExtractionAlgorithm.html

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