康托尔对角线法

康托尔对角线法，也称为康托尔对角论证或康托尔的对角斜线，是格奥尔格·康托尔使用的一种巧妙技巧，用于证明整数和实数不能建立一一对应（即，不可数无限的实数集合比可数无限的整数集合“更大”）。然而，康托尔对角线法是完全通用的，适用于如下所述的任何集合。

给定任何集合，考虑由子集组成的幂集。康托尔对角线法可以用来证明比更大，即，存在从到的单射，但不存在双射。找到单射是显而易见的，正如通过考虑从到的函数可以看出，该函数将的元素映射到单元素集合。假设存在从到的双射，并考虑子集，由元素组成，使得不包含。由于是双射，所以必然存在一个元素，使得。但是根据的定义，集合包含当且仅当不包含。这会产生矛盾，因此不可能存在从到的双射。

康托尔对角线法适用于任何集合，无论是有限的还是无限的。如果是基数为的有限集合，则的基数为，这比更大。如果是无限集合，则是更大的无限集合。特别地，实数的基数，可以证明它与同构，其中是自然数集，它比的基数更大。通过对同一个无限集合无限次地应用这个论证，可以获得无限基数的无限层级。