设 
为遍历的 自同态，作用于 概率空间 
，并设 
为实值 可测函数。则对于 几乎所有 的 
，我们有
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(1)
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当 
时。为了说明这一点，取 
为某个 子集 
在 
上的 特征函数，使得
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(2)
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公式 (1) 的左侧表示 
的轨道（即点 
，
，
，...）落在 
中的频率，而右侧是 
的 测度。因此，对于遍历 自同态，“空间平均 = 时间平均，几乎处处成立”。此外，如果 
是连续的且关于 博雷尔测度 
是唯一遍历的，并且 
是连续的，那么我们可以将 (1) 中的 几乎处处 收敛替换为“处处”收敛。
