伯克霍夫遍历定理

设 为遍历的 自同态，作用于 概率空间 ，并设 为实值 可测函数。则对于 几乎所有 的 ，我们有

(1)

当 时。为了说明这一点，取 为某个 子集 在 上的 特征函数，使得

(2)

公式 (1) 的左侧表示 的轨道（即点 ，，，...）落在 中的频率，而右侧是 的 测度。因此，对于遍历 自同态，“空间平均 = 时间平均，几乎处处成立”。此外，如果 是连续的且关于 博雷尔测度 是唯一遍历的，并且 是连续的，那么我们可以将 (1) 中的 几乎处处 收敛替换为“处处”收敛。