Birkhoff 定理

设 和 是在同一 signature 上的两个代数，其载体分别为 和 （参见 泛代数）。 是 的子代数，如果 且 的每个函数都是 在 上的相应函数的限制。

代数 和 的（直）积是一个代数，其载体是 和 的 笛卡尔积，并且对于每个 和所有 以及所有 ，

在同一 signature 上的非空代数类 被称为 簇，如果它在子代数、同态像和属于该类的结构的任意族的笛卡尔积下是封闭的。

如果一个恒等式在该类中的每个代数中都成立，则称一个代数类满足恒等式 。设 为 signature 上的恒等式集合。在 上的代数类 被称为等式类，如果它是满足来自 的所有恒等式的代数类。在这种情况下，称 由 公理化。

Birkhoff 定理指出， 是等式类当且仅当它是 簇。