贝塞尔曲线

给定一组 控制点 , , ..., ，相应的贝塞尔曲线（或伯恩斯坦-贝塞尔曲线）由下式给出

其中 是一个 伯恩斯坦多项式，且 。贝塞尔样条在 Wolfram 语言 中实现为BezierCurve[pts].

“有理” 贝塞尔曲线定义为

其中 是阶数， 是 伯恩斯坦多项式， 是控制点，并且 的权重 是齐次点 的最后一个纵坐标。这些曲线在透视变换下是封闭的，并且可以精确地表示圆锥曲线。

贝塞尔曲线总是通过第一个和最后一个控制点，并且位于控制点的凸包内。曲线在端点处与 和 相切。这些曲线的“变差减小性质”是指，任何直线与贝塞尔曲线的交点都不会比与通过直线段连接连续点获得的曲线的交点更多。这些曲线的一个理想特性是，可以通过对控制点执行这些操作来平移和旋转曲线。

贝塞尔曲线的不良性质是，当控制点数量很大时，它们的数值不稳定，以及移动单个控制点会改变曲线的整体形状。前者有时可以通过平滑地拼接低阶贝塞尔曲线来避免。贝塞尔曲线的一种推广是 B 样条。