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第二类修正球贝塞尔函数

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ModifiedSphericalBesselK

第二类修正球贝塞尔函数，也称为“第一类球修正贝塞尔函数”（Arfken 1985）或（遗憾地）“第三类修正球贝塞尔函数”（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 443 页），是修正球贝塞尔微分方程的第二类解，由下式给出

k_n(x)=sqrt(2/(pix))K_(n+1/2)(x),
(1)

其中 K_n(z) 是第二类修正贝塞尔函数（Arfken 1985，第 633 页）

对于正数 x，小非负整数指标的前几个值是

k_0(x)=(e^(-x))/x
(2)
k_1(x)=(e^(-x)(x+1))/(x^2)
(3)
k_2(x)=(e^(-x)(x^2+3x+3))/(x^3)
(4)
k_3(x)=(e^(-x)(x^3+6x^2+15x+15))/(x^4)
(5)
k_4(x)=(e^(-x)(x^4+10x^3+45x^2+105x+105))/(x^5)
(6)

(OEIS A001498)。

写作

k_n(z)=e^(-x)f_n(x),
(7)

则 f_n 由递推方程给出

f_n(z)=f_(n-2)(z)+(2n-1)z^(-1)f_(n-1)(z)
(8)

以及

f_0(z)=z^(-1)
(9)
f_1(z)=(z+1)/(z^2)
(10)

(Abramowitz 和 Stegun 1972，第 444 页)。

k_n(x) 没有确定的奇偶性（Arfken 1985，第 633 页）。

k_n(x) 与第一类球汉克尔函数 h_n^((1))(x) 相关，关系式为

k_n(x)=-i^nh_n^((1))(ix)
(11)

对于 x>0 和整数 n （Arfken 1985，第 633 页）。

它们也满足微分恒等式

k_(n+1)(x)=-x^nd/(dx)(x^(-n)k_n)
(12)
k_n(x)=(-1)^nx^n(d/(xdx))^n(e^(-x))/x,
(13)

和递推关系

k_(n-1)(x)-k_(n+1)(x)=-(2n+1)/xk_n(x)
(14)
nk_(n-1)(x)+(n+1)k_(n+1)(x)=-(2n+1)k_n^'(x)
(15)

(Arfken 1985，第 634 页)。

另请参阅

贝塞尔多项式, 第二类修正贝塞尔函数, 第一类修正球贝塞尔函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Modified Spherical Bessel Functions." §10.2 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 443-445, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 663-634, 1985.Sloane, N. J. A. Sequence A001498 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第二类修正球贝塞尔函数

引用为

Weisstein, Eric W. “第二类修正球贝塞尔函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModifiedSphericalBesselFunctionoftheSecondKind.html

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