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Apéry 常数数字

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Apéry 常数由下式定义

zeta(3)=1.2020569...,
(1)

(OEIS A002117) 其中 zeta(z) 是黎曼 zeta 函数。

B. Haible 和 T. Papanikolaou 使用 Wilf-Zeilberger 对 恒等式计算了 zeta(3) 到 1000000 位数字，其中

F(n,k)=(-1)^k((n!)^6(2n-k-1)!k!^3)/(2(n+k+1)!^2(2n)!^3),
(2)

s=1，以及 t=1，得到了快速收敛的

zeta(3)=sum_(n=0)^infty(-1)^n((n!)^(10)(205n^2+250n+77))/(64((2n+1)!)^5)
(3)

(Amdeberhan 和 Zeilberger 1997)。截至 1998 年 12 月的记录是 S. Wedeniwski 计算的 1.28 亿位数字。zeta(3) 于 2013 年 9 月 16 日由 E. Weisstein 计算至 10^8 位十进制数字。

Earls 序列（数字 n 的 n 副本的起始位置）对于 zeta(3)，由 10、57、3938、421、41813、1625571、4903435、99713909、... (OEIS A229074) 给出，适用于 n=1、2、...

zeta(3)-常数素数出现在 n=10、55、109、141、... (OEIS A119334) 中，对应于素数 1202056903、1202056903159594285399738161511449990764986292340498881、... (OEIS A119333)。

在 zeta(3) 的十进制展开中（不包括小数点左侧的初始 0），数字 n=0、1、2、... 首次出现的起始位置是 3、1、2、10、16、6、7、23、18、8、... (OEIS A229187)。

扫描 zeta(3) 的十进制展开，直到所有 n 位数字都出现，最后出现的 1 位、2 位、... 位数字分别是 7、89、211、2861、43983、292702、8261623、... (OEIS A036902)，它们在十进制展开中结束于第 23 位、457 位、7839 位、83054 位、1256587 位、13881136 位、166670757 位、... (OEIS A036906)。

数字序列 0123456789 和 9876543210 没有在前 10^9 位数字中出现 (E. Weisstein，2013 年 9 月 17 日)。

目前尚不清楚 zeta(3) 是否是正规数 (Bailey 和 Crandall 2003)，但下表给出了前 10^n 项中数字的计数，表明十进制数字至少在 10^9 之前分布非常均匀。

d\nOEIS1010010^310^410^510^610^710^810^9
0A0000003910899099109976110004169999248100001073
1A00000011110410241003710027310004841000016399996430
2A0000002910910071006110001210010361000557999985752
3A000000111106101099619989499803210000695100007728
4A0000000876953995799904998174999160399994148
5A0000001131081006993310039910020431000361099999279
6A0000001790100199679952599981810003630100014221
7A000000061131064102531006161000198999507799993290
8A0000000129098199319967599996910001192100009336
9A00000011496964999099941999830999920399998743

另请参阅

Apéry 常数, Apéry 常数连分数, 常数数字扫描

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参考文献

Amdeberhan, T. 和 Zeilberger, D. "通过 WZ 方法加速超几何级数。《电子组合学杂志》" 4, No. 2, R3, 1-3, 1997. http://www.combinatorics.org/Volume_4/Abstracts/v4i2r3.html. 也可在 http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/accel.html 获取。Bailey, D. H. 和 Crandall, R. E. "随机生成器和正规数。《实验数学》" 11, 527-546, 2002.2003 年 2 月 22 日的预印本可在 http://www.nersc.gov/~dhbailey/dhbpapers/bcnormal.pdf 获取。Sloane, N. J. A. "整数数列线上大全" 中的序列 A002117, A036902, A036906, A119333, A119334, A229074, 和 A229187。Wedeniwski, S. "Zeta(3) 的 128000026 位数字。" http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/Zeta3.txt.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Apéry 常数数字。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/AperysConstantDigits.html

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