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孪生素数证明被提出

作者：Eric W. Weisstein

2004 年 6 月 9 日——范德堡大学数学家 R. F. Arenstorf 最近发布的一篇预印本似乎接近于解决长期存在的关于孪生素数无限性的问题。 孪生素数是素数对，其中较大成员比较小成员大 2，即素数 p 和 q 满足q - p = 2。 明确地，前几个孪生素数是 (3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、(17, 19)、(29, 31) 和 (41, 43)。

孪生素数（由 P. Stäckel 在 1892-1919 年命名）的性质和分布是数学研究的活跃领域。 虽然孪生素数的分布仍然难以捉摸，但数学家 V. Brun 在 1919 年证明，即使总和包含无限项，每个孪生素数对的倒数之和

孪生素数猜想指出存在无限多个孪生素数。 虽然 Hardy 和 Wright (1979) 指出“当详细检查证据时，似乎证明了该猜想的合理性”，而 Shanks (1993) 甚至更强烈地指出，“证据是压倒性的。” Hardy 和 Wright 还指出，此类猜想的证明或证伪“目前超出了数学的资源范围。”

事实上，尽管一个世纪以来数十位数学家为此付出了努力，但孪生素数猜想的证明一直没有被构建出来。 相比之下，最近的一篇预印本显然成功地展示了任何长度 k 的素数算术级数的存在，这是一个相关的，也是长期悬而未决的问题（ 头条新闻报道，2004 年 4 月 12 日）。

然而，在 5 月 26 日的预印本中，R. F. Arenstorf 发表了一个关于孪生素数猜想的拟议证明，该证明是 Hardy 和 Littlewood (1923) 提出的更强形式。 该证明使用了来自经典解析数论的方法，包括 黎曼 zeta 函数的性质、来自 素数定理证明的想法，以及 Wiener 和 Ikehara 在 1931 年提出的所谓的 Tauberian 定理，其中最后一个定理几乎立即引出了 Arenstorf 的主要结果。

虽然 Arenstorf 的方法看起来很有希望，但法国南锡 Élie Cartan 研究所的数学家 G. Tenenbaum (Tenenbaum 2004) 最近指出了证明的某个特定步骤（具体而言，第 35 页的引理 8；引理是在证明更大定理时使用的简短定理）中的错误。 虽然数学家们仍然希望能够纠正证明中的任何漏洞，但 Tenenbaum 认为这个特定的错误可能会对整个证明的完整性产生严重影响。 其他数学家在未来几周和几个月内的额外分析将确定，像最初有缺陷的 费马最后定理证明一样，孪生素数结果是否也可以被纠正，从而最终解决这个长期悬而未决的问题，或者是否需要额外的见解和工具才能最终破解它。