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庞加莱猜想据称证明被驳斥

作者：Eric W. Weisstein

2002年4月18日——数学中一个著名的未证明猜想指出，每个单连通 闭3-流形都同胚于3-球。 这个猜想最初由 H. 庞加莱于 1904 年提出（Poincaré 1953，第 486 和 498 页），随后被推广为猜想：每个紧致 n-流形与 n-球同伦等价当且仅当它同胚于 n-球。 广义陈述被称为庞加莱猜想，当 n = 3 时，它简化为原始猜想。

广义猜想的 n = 1 情况是平凡的，n = 2 情况是经典的，n = 3 仍然是开放的，n = 4 已于 1982 年被 Freedman 证明（为此他被授予 1986 年菲尔兹奖），n = 5 于 1961 年被 Zeeman 证明，n = 6 于 1962 年被 Stallings 证明，n >= 7 于 1961 年被 Smale 证明。（Smale 随后扩展了他的证明以包括 n >= 5。）

克雷数学研究所将该猜想列入其百万美元奖金问题清单。 2002 年 4 月，M. J. Dunwoody 发表了一篇五页的论文，声称证明了该猜想。 然而，根据克雷研究所的规定，该论文必须经过两年的学术审查才能领取奖金。 截至撰写本文时，尚不清楚 Dunwoody 的证明是否能持续哪怕是那段时间的一小部分。

事实上，据推测，据称的证明似乎已被发现不足，理由是：（1）摘要以“我们给出了庞加莱猜想的预期[斜体字添加]证明”开头，以及（2）4 月 11 日修订版的预印本的标题从“庞加莱猜想的证明”到“庞加莱猜想的证明？”发生了细微但意义重大的变化。 特别是，论文中的一个关键步骤似乎仍然未被证实，而 Dunwoody 本人也不知道如何填补缺失的证明。

附言：有关更多最新结果，请参阅“庞加莱猜想得到证明——这次是真的”