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威尔逊定理

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当且仅当 p 是一个 质数, 那么 (p-1)!+1 是 p 的倍数，也就是

(p-1)!=-1 (mod p).
(1)

这个定理由约翰·威尔逊提出，并由瓦林 (1770) 发表，尽管莱布尼茨之前已经知道它。拉格朗日在 1773 年证明了它。与 费马小定理 不同，威尔逊定理是素数的充分必要条件。对于合数, (n-1)!=0 (mod n) 除了当 n=4 时。

该定理的一个推论指出，当且仅当 一个 质数 p 是 ...形式的 4k+1, 那么

[(2k)!]^2=-1 (mod p).
(2)

前几个 p=4k+1 形式的质数是 p=5, 13, 17, 29, 37, 41, ... (OEIS A002144), 对应于 k=1, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18, 22, 24, 25, 27, 28, 34, 37, ... (OEIS A005098).

高斯对威尔逊定理的推广考虑了 P(n) 小于等于且与整数 n 互质的整数的乘积。对于 n=1, 2, ..., 前几个值是 1, 1, 2, 3, 24, 5, 720, 105, 2240, 189, ... (OEIS A001783)。然后定义

P(n)=product_(k=1; (k,n)=1)^nk
(3)

给出了同余式

P(n)={0 (mod 1) for n=1; -1 (mod n) for n=4,p^alpha,2p^alpha; 1 (mod n) otherwise
(4)

对于 p 一个 奇质数。当 n=2 时，这简化为 P=1 (mod 2) 这等价于 P=-1 (mod 2)。前几个 P(n) (mod n) 的值是 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, ... (OEIS A103131).

Szántó (2005) 指出，定义

S(n)=2product_(k=1)^(n)sum_(i=1)^(k)i
(5)
=2^(1-n)n!(n+1)!,
(6)

那么，取最小剩余，

S(n)={(-1)^((n+2; 2)) (mod 2n+1) for 2n+1 prime; 0 (mod 2n+1) otherwise.
(7)

对于 n=0, 1, ..., 前几项是 0, -1, 1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, -1, 0, ... (OEIS A112448).

另请参阅

费马小定理, 质数公式, 威尔逊质数

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参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 61, 1987.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 142-143 和 168-169, 1996.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 167, 2003.Hilton, P.; Holton, D.; 和 Pedersen, J. Mathematical Reflections in a Room with Many Mirrors. New York: Springer-Verlag, pp. 41-42, 1997.Nagell, T. "Wilson's Theorem and Its Generalizations." Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 99-101, 1951.Ore, Ø. Number Theory and Its History. New York: Dover, pp. 259-261, 1988.Séroul, R. "Wilson's Theorem." §2.9 在 Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 16-17, 2000.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 37-38, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A001783/M0921, A002144/M3823, A005098, A103131, 和 A112448 在 "整数序列在线百科全书" 中。Szántó, S. "The Proof of Szántó's Note." http://www.dkne.hu/Proof.html.Waring, E. Meditationes Algebraicae. Cambridge, England: University Press, 1770.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

威尔逊定理

引用为

Weisstein, Eric W. "威尔逊定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WilsonsTheorem.html

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