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维格纳半圆定律

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设 V 为一个大型 实 对称矩阵，阶数为 N，具有随机元素 v_(ij)，对于 i<=j，这些元素独立分布且具有相等的密度，相等的二阶矩 m^2，以及第 n 阶矩以常数 B_n 为界，常数 B_n 独立于 i、j 和 N。此外，设 S=S_(alpha,beta)(v,N) 为 V 的 特征值 数量，这些特征值位于区间 (alphaN^(1/2),betaN^(1/2)) 内，对于实数 alpha<beta。那么

lim_(N->infty)(E(S))/N=1/(2pim^2)int_alpha^betasqrt(4m^2-x^2)dx

(维格纳 1955, 1958)。维格纳 (1955) 在量子力学研究中出现的某些特殊类型的随机矩阵中首次观察到该定律。

SemicircleLaw

上面说明了从标准正态分布中选择条目的对称随机矩阵的特征值分布，以一个随机的 5000×5000 矩阵为例。

请注意，从均匀分布中提取随机条目的大型实对称矩阵也服从半圆定律，但例外的是，它也拥有恰好一个大的特征值。

另请参阅

特征值, 吉尔科圆定律, 随机矩阵

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参考文献

Alon, N.; Krivelevich, M.; and Vu, V. H. "On the Concentration of Eigenvalues of Random Symmetric Matrices." Israel J. Math. 131, 259-267, 2002.Arnold, L. "On Wigner's Semicircle Law for the Eigenvalues of Random Matrices." Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 19, 191-198, 1971.Bai, Z. D. and Yin, Y. Q. "Convergence to the Semicircle Law." Ann. Probab. 16, 863-875, 1988.Götze, F. and Tikhomirov, A. "Rate of Convergence to the Semi-Circular Law." Probab. Theory Related Fields 127, 228-276, 2003.Kiessling, M. K.-H. and Spohn, H. "A Note on the Eigenvalue Density of Random Matrices." Comm. Math. Phys. 199, 683-695, 1999.Ryan, Ø. "On the Limit Distributions of Random Matrices with Independent or Free Entries." Comm. Math. Phys. 193, 595-626, 1998.Voiculescu, D. "Limit Laws for Random Matrices and Free Products." Invent. Math. 104, 201-220, 1991.Wigner, E. "Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions." Ann. of Math. 62, 548-564, 1955.Wigner, E. "On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices." Ann. of Math. 67, 325-328, 1958.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

维格纳半圆定律

请引用为

Weisstein, Eric W. "维格纳半圆定律。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WignersSemicircleLaw.html

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