Ramsey数 
，有时也记为 
(例如，Mattheus 和 Verstraete 2023)，给出了 聚会问题 的解，该问题询问必须邀请的最少客人数量 
，以便至少有 
个人彼此认识，或者至少有 
个人彼此不认识。用 图论 的语言来说，Ramsey 数是最小的顶点数 
，使得所有阶为 
的无向简单图都包含一个阶为 
的 团 或 一个阶为 
的 独立集 (即，具有 团数 
或 独立数 
)。Ramsey 定理 表明，对于所有 
和 
，这样的数是存在的。
根据对称性，以下等式成立：
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(1)
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以下等式也必然成立：
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(2)
|
广义 Ramsey 数可以写成：
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(3)
|
并且是最小的 整数 
，使得无论如何用 
种颜色对一个 
元素 集合 的每个 
元素 子集 进行着色，都存在一个 
，使得存在一个大小为 
的 子集，其所有 
元素 子集 都是颜色 
。通常的 Ramsey 数则等价于 
。
边界由下式给出：
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(4)
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和
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(5)
|
(Chung 和 Grinstead 1983)。Erdős 证明了对于对角 Ramsey 数 
，
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(6)
|
Spencer (1975) 随后将此结果改进了 2 倍。
自 1980 年以来已知其上限为 
，Griggs (1983) 表明 
是一个可接受的极限。J.-H. Kim (Cipra 1995) 随后将 
的下限也限制在一个类似的表达式中，因此
 |
(7)
|
Burr (1983) 给出了边数不超过 6 且没有孤立点的所有 113 个图的 Ramsey 数。
Mattheus 和 Verstraete (2023) 证明了
 |
(8)
|
当 
时，其中 
是 大 O 表示法。这确定了 
，误差在一个 
阶的因子内。
Chung 和 Grinstead (1983) 总结了截至 1983 年关于 
的已知结果。Radziszowski (2021) 维护着当前最佳边界的最新列表。下面总结了已知精确值的数。
 |  |  | 参考文献 |
| 3 | 3 | 6 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 4 | 9 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 5 | 14 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 3 | 6 | 18 | Graver 和 Yackel (1968) |
| 3 | 7 | 23 | Kalbfleisch (1966) |
| 3 | 8 | 28 | McKay 和 Min (1992) |
| 3 | 9 | 36 | Grinstead 和 Roberts 1982 |
| 4 | 4 | 18 | Greenwood 和 Gleason (1955) |
| 4 | 5 | 25 | McKay 和 Radziszowski (1995) |
Exoo (1989) 证明了 
，Angeltveit 和 McKay (2024) 证明了 
，由此确定了
 |
(9)
|
。” 2024 年 9 月 24 日。 
." J. Combin. Th. Ser. B 13, 168-169, 1972.Burr, S. A. "图的广义 Ramsey 理论--综述。" 收录于 Graphs and Combinatorics (Ed. R. A. Bari 和 F. Harary)。纽约: Springer-Verlag, pp. 52-75, 1974.Burr, S. A. "小图的对角 Ramsey 数。" J. Graph Th. 7, 57-69, 1983.Burr, S. A.; Erdős, P.; Faudree, R. J.; 和 Schelp, R. H. "连续 Ramsey 数之间的差值。" Util. Math. 35, 115-118, 1989.Chartrand, G. "古怪主人的问题：Ramsey 数导论。" §5.1 收录于 
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