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八面体数

一个 图形数，它是两个连续的棱锥数之和，

O_n=P_(n-1)+P_n=1/3n(2n^2+1).
(1)

前几个是 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, ... (OEIS A005900)。八面体数的生成函数是

(x(x+1)^2)/((x-1)^4)=x+6x^2+19x^3+44x^4+....
(2)

波洛克 (1850) 推测每个数都是最多 7 个八面体数之和 (Dickson 2005, p. 23)。

HauyOctahedron03
HauyOctahedron05
HauyOctahedron07
HauyOctahedron09
HauyOctahedron11

一组相关的数是八面体的 Haűy 构造中的立方体数量。每个横截面的面积是

S_n=n+2sum_(i=1,3,...,n-2)i=1/2(n^2+1),
(3)

其中 n 是一个奇数，并且添加所有横截面得到

HO_k=S_k+2sum_(i=1,3,...,k-2)S_i=1/6k(k^2+5),
(4)

对于 k 一个奇数。重新索引使得 k=2n-1 得到

HO_n=1/3(2n-1)(2n^2-2n+3),
(5)

前几个值是 1, 7, 25, 63, 129, ... (OEIS A001845)。这些数字的生成函数是

f(x)=((1+x)^3)/((1-x)^4)=1+7x+25x^2+63x^3+129x^4+....
(6)

另请参阅

Haűy 构造, 八面体, 截角八面体数

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参考文献

Conway, J. H. and Guy, R. K. 数之书. New York: Springer-Verlag, p. 50, 1996.Dickson, L. E. 数论史，第 2 卷：丢番图分析. New York: Dover, 2005.Pollock, F. "关于费马多边形数定理原理扩展到更高阶级数的论文，这些级数的最终差值是常数。并提出了一个适用于所有阶级的新定理。" Abs. Papers Commun. Roy. Soc. London 5, 922-924, 1843-1850.Sloane, N. J. A. 序列 A001845/M4384 和 A005900/M4128 在“整数序列在线百科全书”中.

在 中被引用

八面体数

请引用为

埃里克·韦斯坦因 "八面体数。" 来自 ——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/OctahedralNumber.html

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