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函数方程

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形如 的方程 f(x,y,...)=0，其中 f 包含有限数量的自变量、已知函数和待求解的未知函数。函数的许多性质可以通过研究它们满足的函数方程类型来确定。例如，伽玛函数 伽玛函数 Gamma(z) 满足以下函数方程

Gamma(1+z)=zGamma(z)
(1)
Gamma(1-z)=-zGamma(-z).
(2)

以下函数方程成立

f(x)=f(x+1)+f(x^2+x+1)
(3)
l(x)=l(2x+1)+l(2x)
(4)
tau(x)=tau(x+1)+tau(x^2+x-1)
(5)
sigma(x)=sigma(sqrt(x^2+1))+sigma(xsqrt(x^2+1)(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+2)))
(6)
rho(x)=rho(sqrt(x^2+1))+rho(xsqrt(x^2+1)(x+sqrt(x^2-1)))
(7)
rho(x)=rho((x^2)/((x-1)sqrt(x^2-1)+sqrt(2x+1)))-rho(x/(x-1)),
(8)

其中

f(x)=tan^(-1)(1/x)
(9)
l(x)=ln(1+1/x)
(10)
tau(x)=tanh^(-1)(1/x)
(11)
=1/2ln((x-1)/(x+1))
(12)
sigma(x)=sinh^(-1)(1/x)
(13)
rho(x)=sin^(-1)(1/x)
(14)

(Borwein 等人，2004年)。

另请参阅

阿贝尔倍乘公式, 阿贝尔函数方程, 泛函分析, 反射关系

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参考文献

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 数学实验：计算发现之路。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Castillo, E.; Gutiérrez, J. M.; and Iglesias, A. "Solving a Functional Equation." Mathematica J. 5, 82-86, 1995.Castillo, E. and Iglesias, A. "A Package for Symbolic Solution of Functional Equations." Mathematics with Vision: Proceedings of the First International Mathematica Symposium. pp. 85-92, 1995.Flajolet, P. and Sedgewick, R. "Analytic Combinatorics: Functional Equations, Rational and Algebraic Functions." http://www.inria.fr/RRRT/RR-4103.html.Kuczma, M. 单变量函数方程。 Warsaw, Poland: Polska Akademia Nauk, 1968.Kuczma, M. 函数方程与不等式理论导论：柯西方程与詹森不等式。 Warsaw, Poland: Uniwersitet Slaski, 1985.Kuczma, M.; Choczewski, B.; and Ger, R. 迭代函数方程。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中引用

函数方程

请这样引用

Weisstein, Eric W. "函数方程。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FunctionalEquation.html

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