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Cayley-Hamilton 定理

给定

A=|a_(11)-x a_(12) ... a_(1m); a_(21) a_(22)-x ... a_(2m); | | ... |; a_(m1) a_(m2) ... a_(mm)-x|
(1)
=x^m+c_(m-1)x^(m-1)+...+c_0,
(2)

则

A^m+c_(m-1)A^(m-1)+...+c_0I=0,
(3)

其中 I 是单位矩阵。Cayley 验证了当 m=2 和 3 时此恒等式成立，并假设它对所有 m 都成立。对于 m=2，直接验证得到

|a-x b; c d-x|=(a-x)(d-x)-bc
(4)
=x^2-(a+d)x+(ad-bc)
(5)
=x^2+c_1x+c_2
(6)
A=[a b; c d]
(7)
A^2=[a b; c d][a b; c d]
(8)
=[a^2+bc ab+bd; ac+cd bc+d^2]
(9)
-(a+d)A=[-a^2-ad -ab-bd; -ac-dc -ad-d^2]
(10)
(ad-bc)I=[ad-bc 0; 0 ad-bc],
(11)

所以

A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=[0 0; 0 0].
(12)

Cayley-Hamilton 定理指出，一个 n×n 矩阵 A 被其特征多项式 det(xI-A) 零化，该特征多项式是首一的，次数为 n。

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参考文献

Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 181, 1962.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1117, 2000.Segercrantz, J. "Improving the Cayley-Hamilton Equation for Low-Rank Transformations." Amer. Math. Monthly 99, 42-44, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Cayley-Hamilton 定理

引用为

Weisstein, Eric W. "Cayley-Hamilton 定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cayley-HamiltonTheorem.html

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