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洛伦兹吸引子

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洛伦兹吸引子是一个吸引子，它出现在描述均匀深度 H 的流体二维流动的简化方程组中，该流动受到重力 g 作用，并具有温度差 DeltaT、浮力 alpha、热扩散率 kappa 和运动粘度 nu。 完整方程如下：

partial/(partialt)(del ^2phi)=(partialpsi)/(partialz)partial/(partialx)(del ^2psi)-(partialpsi)/(partialx)partial/(partialz)(del ^2psi)+nudel ^2(del ^2psi)+galpha(dT)/(dx)
(1)
(partialT)/(partialt)=(partialT)/(partialz)(partialpsi)/(partialx)-(partialtheta)/(partialx)(partialpsi)/(partialz)+kappadel ^2T+(DeltaT)/H(partialpsi)/(partialx).
(2)

这里，psi 是一个流函数，定义为流体运动的速度分量 u=(u,w) 为

u=(partialpsi)/(partialz)
(3)
w=-(partialpsi)/(partialx)
(4)

(Tabor 1989, 第 205 页)。

在 1960 年代初期，洛伦兹意外地发现了这个系统的混沌行为，当时他发现，对于一个简化的系统，形式为 的周期解

psi=psi_0sin((piax)/H)sin((piz)/H)
(5)
theta=theta_0cos((piax)/H)sin((piz)/H)
(6)

在瑞利数大于临界值 Ra>Ra_c 时增长。此外，初始值非常小的变化也会导致截然不同的结果，这代表了所谓蝴蝶效应的最早发现之一。

洛伦兹包含了以下项

X=psi_(11)
(7)
Y=T_(11)
(8)
Z=T_(02),
(9)

其中 X 与对流强度成正比，Y 与下降和上升电流之间的温差成正比，Z 与其方程组中垂直温度剖面与线性的差异成正比。 由此，他得到了简化的方程

X^.=sigma(Y-X)
(10)
Y^.=-XZ+rX-Y
(11)
Z^.=XY-bZ,
(12)

现在被称为洛伦兹方程。 这里，X^.=dX/dt, Y^.=dY/dt, Z^.=dZ/dt, 以及

sigma=nu/kappa
(13)
r=(Ra)/(Ra_c)
(14)
b=4/(1+a^2).
(15)

其中 sigma 是普朗特数，Ra 是瑞利数，Ra_c 是临界瑞利数，b 是一个几何因子 (Tabor 1989, 第 206 页)。 洛伦兹取 b=8/3 和 sigma=10。

洛伦兹吸引子的关联维数为 2.05+/-0.01，容量维数为 2.06+/-0.01 (Grassberger and Procaccia 1983)。 更多详情请参见 Lichtenberg 和 Lieberman (1983, 第 65 页) 以及 Tabor (1989, 第 204 页)。 作为他为数学提出的具有挑战性的问题列表之一 (斯梅尔问题)，斯梅尔 (Smale) (1998, 2000) 提出了一个开放性问题，即洛伦兹吸引子是否是奇异吸引子。 Tucker (2002) 肯定地回答了这个问题，他的技术证明结合了范式理论和验证区间算术。

LorenzAttractor

在 (0, 0, 0) 的临界点对应于无对流，以及在 临界点

(sqrt(b(r-1)),sqrt(b(r-1)),r-1)
(16)

和

(-sqrt(b(r-1)),-sqrt(b(r-1)),r-1)
(17)

对应于稳态对流。 只有当

r=(sigma(sigma+b+3))/(sigma-b-1),
(18)

时，这对点才是稳定的，这只有当 sigma>b+1 时，才能对正 r 成立。

Lorenz attractor laser-etched crystal (Bathsheba Grossman)

上面的图像展示了数字雕塑家 Bathsheba Grossman (http://www.bathsheba.com/) 激光蚀刻在玻璃上的洛伦兹吸引子。

另请参阅

蝴蝶效应, 洛伦兹方程, 罗 Rössler 吸引子, 斯梅尔问题, 奇异吸引子

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参考文献

Gleick, J. 混沌：一门新科学的诞生。 New York: Penguin Books, pp. 27-31, center plate (following p. 114), and p. 140, 1988.Grassberger, P. and Procaccia, I. "测量奇异吸引子的奇异性。" Physica D 9, 189-208, 1983.Grossman, B. "洛伦兹吸引子水晶。" http://www.bathsheba.com/crystalsci/lorenz/.Guckenheimer, J. "一个奇异的，奇异的吸引子。" In The Hopf Bifurcation and Its Applications (Ed. J. E. Marsden and M. McCracken). New York: Springer-Verlag, 1976.Guckenheimer, J. and Williams, R. F. "洛伦兹吸引子的结构稳定性。" Publ. Math. IHES 50, 307-320, 1979.Lichtenberg, A. and Lieberman, M. 规则和随机运动。 New York: Springer-Verlag, 1983.Lorenz, E. N. "确定性非周期流动。" J. Atmos. Sci. 20, 130-141, 1963.Lorenz, E. N. "关于简单系统中非周期性的普遍性。" In Global Analysis: Proceedings of the Biennial Seminar of the Canadian Mathematical Congress Held at the University of Calgary, Alberta, June 12-27 (Ed. M. Grmela and J. E. Marsden). New York: Springer-Verlag, pp. 53-75, 1979.Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; and Saupe, D. 混沌与分形：科学的新领域。 New York: Springer-Verlag, pp. 697-708, 1992.Rand, D. "洛伦兹吸引子的拓扑分类。" Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.Smale, S. "下个世纪的数学问题。" Math. Intelligencer 20, No. 2, 7-15, 1998.Smale, S. "下个世纪的数学问题。" In Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000 (Ed. V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, and B. Mazur). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Sparrow, C. 洛伦兹方程：分岔，混沌和奇异吸引子。 New York: Springer-Verlag, 1982.Stewart, I. "洛伦兹吸引子存在。" Nature 406, 948-949, 2000.Tabor, M. 非线性动力学中的混沌与可积性：导论。 New York: Wiley, 1989.Tucker, W. "一个严格的 ODE 求解器和斯梅尔的第 14 个问题。" Found. Comput. Math. 2, 53-117, 2002.Viana, M. "关于洛伦兹奇异吸引子的新进展。" Math. Intell. 22, 6-19.Weisstein, E. W. "斯梅尔的第 14 个问题已解决。" MathWorld Headline News, Feb. 13, 2002. https://mathworld.net.cn/news/2002-02-13/smale14th/.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何词典。 London: Penguin, pp. 142-143, 1991.Williams, R. F. "洛伦兹吸引子的结构。" Publ. Math. IHES 50, 321-347, 1979.Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "亚稳态混沌：洛伦兹模型中向持续混沌振荡的过渡。" J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.

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洛伦兹吸引子

请这样引用

Weisstein, Eric W. "洛伦兹吸引子。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LorenzAttractor.html

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