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Darboux 公式

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Darboux 公式是关于函数在无穷级数中展开的定理，本质上包括对特定被积函数乘积进行分部积分。泰勒级数可以作为该公式的特例获得，其可以表述如下。

设 f(z) 在连接 a 到 z 的线段上的所有点处解析，并设 phi(t) 为关于 t 的 多项式，其阶数为 n。那么如果 0<=t<=1，微分得到

d/(dt)sum_(m=1)^infty(-1)^m(z-a)^mphi^((n-m))(t)f^((m))(a+t(z-a)) =-(z-a)phi^((n))(t)f^'(a+t(z-a))+(-1)^n(z-a)^(n+1)phi(t)f^((n+1))(a+t(z-a)).

但是 phi^((n))(t)=phi^((n))(0)，因此对 t 在 0 到 1 区间积分得到

phi^((n))(0)[f(z)-f(a)]=sum_(m=1)^n(-1)^(m-1)(z-a)^m[phi^((n-m))(1)f^((m))(z) -phi^((n-m))(0)f^((m))(a)]+(-1)^n(z-a)^(n+1)int_0^1phi(t)f^((n+1))(a+t(z-a))dt.

通过令 phi(t)=(t-1)^n 且令 n->infty (Whittaker and Watson 1990, p. 125)，可以得到泰勒级数。

另请参阅

Bürmann 定理, Euler-Maclaurin 积分公式, 分部积分, 麦克劳林级数, 泰勒级数

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参考文献

Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. “Darboux 公式。” 现代分析教程，第 4 版 §7.1。英国剑桥：剑桥大学出版社，第 125 页，1990 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Darboux 公式

请引用为

Weisstein, Eric W. “Darboux 公式。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DarbouxsFormula.html

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