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高斯和

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高斯和是以下形式的和

S(p,q)=sum_(r=0)^(q-1)e^(-piir^2p/q),
(1)

其中 p 和 q 是互质整数。 符号 phi 有时用于代替 S。 虽然限制为互质整数通常很有用，但并非必要，并且高斯和可以写成对所有整数 q 都有效（Borwein 和 Borwein 1987，第 83 页和 86 页）。

如果 (n,n^')=1，则

S(m,nn^')=S(mn^',n)S(mn,n^')
(2)

（Nagell 1951，第 178 页）。 高斯表明

S(-2,q)=(1-i^q)/(1-i)sqrt(q)
(3)

对于奇数 q。 明确写出

S(-2,q)={(i+1)sqrt(q) for q=0 (mod 4); sqrt(q) for q=1 (mod 4); 0 for q=2 (mod 4); isqrt(q) for q=3 (mod 4)
(4)

（Nagell 1951，第 177 页）。

对于奇偶性相反（即一个是偶数，另一个是奇数）的 p 和 q，Schaar 恒等式指出

1/(sqrt(q))sum_(r=0)^(q-1)e^(-piir^2p/q)=(e^(-pii/4))/(sqrt(p))sum_(r=0)^(p-1)e^(piir^2q/p).
(5)

这些和在二次剩余理论中很重要。

另请参阅

Kloosterman 和, 二次剩余, Schaar 恒等式, 奇异级数

使用 探索

参考文献

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Evans, R. and Berndt, B. "The Determination of Gauss Sums." Bull. Amer. Math. Soc. 5, 107-129, 1981.Katz, N. M. Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987.Malyšev, A. V. "Gauss and Kloosterman Sums." Dokl. Akad. Nauk SSSR 133, 1017-1020, 1960. English translation in Soviet Math. Dokl. 1, 928-932, 1960.Nagell, T. "The Gaussian Sums." §53 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 177-180, 1951.Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 132-134, 1994.

在 中引用

高斯和

引用为

Weisstein, Eric W. "高斯和。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/GaussianSum.html

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