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克洛斯特曼和

克洛斯特曼和的定义如下：

S(u,v,n)=sum_(h)exp[(2pii(uh+vh^_))/n],
(1)

其中 h 遍历模 n 的一组完全既约剩余系，且 h^_ 定义为

hh^_=1 (mod n).
(2)

符号 K_n(u,v) 也被使用，至少对于素数 n。

如果 (n,n^')=1 （如果 n 和 n^' 互素），则

S(u,v,n)S(u,v^',n^')=S(u,vn^('2)+v^'n^2,nn^').
(3)

克洛斯特曼和本质上解决了拉马努金提出的用 二次型 ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2 表示充分大的数的问题。韦伊改进了克洛斯特曼对拉马努金问题的估计，得到了最优估计

|S(u,u,n)|<=2sqrt(n)
(4)

(Duke 1997)。

另请参阅

高斯和

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Duke, W. "关于二次型的一些旧问题和新结果 (Some Old Problems and New Results about Quadratic Forms)." Not. Amer. Math. Soc. 44, 190-196, 1997.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, p. 56, 1979.Katz, N. M. Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987.Kloosterman, H. D. "关于以 ax^2+by^2+cz^2+dt^2 形式表示数字 (On the Representation of Numbers in the Form ax^2+by^2+cz^2+dt^2)." Acta Math. 49, 407-464, 1926.Kloosterman, H. D. "一般Theta函数在模群下的行为以及二元模同余群的特征，I (The Behavior of General Theta Functions under the Modular Group and the Characters of Binary Modular Congruence Groups, I)." Ann. Math. 47, 317-375, 1946.Kloosterman, H. D. "一般Theta函数在模群下的行为以及二元模同余群的特征，II (The Behavior of General Theta Functions under the Modular Group and the Characters of Binary Modular Congruence Groups, II)." Ann. Math. 47, 376-447, 1946.Malyšev, A. V. "高斯和与克洛斯特曼和 (Gauss and Kloosterman Sums)." Dokl. Akad. Nauk SSSR 133, 1017-1020, 1960. English translation in Soviet Math. Dokl. 1, 928-932, 1960.Ramanujan, S. "关于以 ax^2+by^2+cz^2+du^2 形式表示数字 (On the Expression of a Number in the Form ax^2+by^2+cz^2+du^2)." In Collected Papers of Srinivasa Ramanujan. (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

克洛斯特曼和

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "克洛斯特曼和 (Kloosterman's Sum)." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/KloostermansSum.html

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