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差商

差商 f[x_0,x_1,x_2,...,x_n]，有时也记为 [x_0,x_1,x_2,...,x_n] (Abramowitz and Stegun 1972)，在 n+1 个点 x_0, x_1, ..., x_n 处，函数 f(x) 的差商定义为 f[x_0]=f(x_0) 和

f[x_0,x_1,...,x_n]=(f[x_0,...,x_(n-1)]-f[x_1,...,x_n])/(x_0-x_n)
(1)

对于 n>=1。 前几个差分是

f[x_0,x_1]=(f_0-f_1)/(x_0-x_1)
(2)
f[x_0,x_1,x_2]=(f[x_0,x_1]-f[x_1,x_2])/(x_0-x_2)
(3)
f[x_0,x_1,...,x_n]=(f[x_0,...,x_(n-1)]-f[x_1,...,x_n])/(x_0-x_n).
(4)

定义

pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)
(5)

并取 导数

pi_n^'(x_k)=(x_k-x_0)...(x_k-x_(k-1))(x_k-x_(k+1))...(x_k-x_n)
(6)

得到恒等式

f[x_0,x_1,...,x_n]=sum_(k=0)^n(f_k)/(pi_n^'(x_k)).
(7)

考虑以下问题：性质

f[x_1,x_2,...,x_n]=h(x_1+x_2+...+x_n)
(8)

对于 n>=2 和给定的函数 h(x) 是否保证 f(x) 是一个次数 <=n 的 多项式？ Aczél (1985) 证明了对于 n=2 答案是“肯定”的，Bailey (1992) 证明了对于 n=3 且 f(x) 可微时，答案也是成立的。Schwaiger (1994) 和 Andersen (1996) 随后证明了对于所有 n>=3，当对 f(x) 或 h(x) 施加限制时，答案也是“肯定”的。

另请参阅

霍纳法, 插值, 牛顿差商插值公式, 倒数差分

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 877-878, 1972.Aczél, J. "二次多项式导数的均值性质——无需均值和导数." Math. Mag. 58, 42-45, 1985.Andersen, K. M. "多项式的表征." Math. Mag. 69, 137-142, 1996.Bailey, D. F. "三次多项式的均值性质——无需均值." Math. Mag. 65, 123-124, 1992.Beyer, W. H. (编). CRC 标准数学表格，第 28 版. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 439-440, 1987.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "差商." §9.012 见 数学物理方法，第 3 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 260-264, 1988.Schwaiger, J. "关于用差商表征多项式." Aequationes Math. 48, 317-323, 1994.Sauer, T. 和 Xu, Y. "关于多元拉格朗日插值." Math. Comput. 64, 1147-1170, 1995.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "差商" 和 "关于差商的定理." §11-12 见 观测计算：数值数学专著，第 4 版. New York: Dover, pp. 20-24, 1967.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

差商

请引用为

Weisstein, Eric W. "差商." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DividedDifference.html

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