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等价度量

定义在空间 X上的两个度量 g_1 和 g_2 被称为等价的，如果它们在 X 上诱导出相同的度量拓扑。情况是当且仅当，对于 X 的每个点 x_0，每一个以 x_0 为中心并关于 g_1 定义的球

B(x_0,r_1;g_1)={x in X|g_1(x_0,x)<r_1}
(1)

包含一个以 x_0 为中心并关于 g_2 定义的球

B(x_0,r_2;g_2)={x in X|g_2(x_0,x)<r_2},
(2)

反之亦然。

在 X 上的每个度量 g 都有不可数个等价度量。对于每个正实数 epsilon，可以定义一个“缩放”度量 g_epsilon，使得对于所有 x,y in X，

g_epsilon(x,y)=(g(x,y))/epsilon.
(3)

事实上，对于所有 x_0 in X

B(x_0,r;g)=B(x_0,r/epsilon;g_epsilon).
(4)

另一个与 g 等价的度量 g^' 由下式定义

g^'(x,y)=(g(x,y))/(1+g(x,y)),
(5)

对于所有 x,y in X。事实上，

B(x_0,r;g) subset= B(x_0,r;g^'),
(6)

和

B(x_0,r/(r+1);g^') subset= B(x_0,r;g).
(7)

在欧几里得平面 R^2中，除了欧几里得度量之外，还可以定义具有圆形球的度量

g((x_1,y_1),(x_2,y_2))=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2),
(8)

对于所有正实数 a 和 b，可以定义一个等价的更一般的度量为

g_(a,b)((x_1,y_1),(x_2,y_2))=sqrt(((x_1-x_2)^2)/(a^2)+((y_1-y_2)^2)/(b^2)),
(9)

具有椭圆球，以及出租车度量

g_t((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|,
(10)

可以定义具有方形“球”。所有这些都等价于欧几里得度量。

参见

度量，度量等价问题，乘积度量

此条目由 Margherita Barile 贡献

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请引用为

Barile, Margherita. "等价度量。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/EquivalentMetrics.html

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