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Iseki 公式

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设 R[z]>0, 0<=alpha,beta<=1, 且

Lambda(alpha,beta,z)=sum_(r=0)^infty[lambda((r+alpha)z-ibeta)+lambda((r+1-alpha)z+ibeta)],
(1)

其中

lambda(x)=-ln(1-e^(-2pix))
(2)
=sum_(m=1)^(infty)(e^(-2pimx))/m.
(3)

那么，如果 0<=alpha<=1 且 0<beta<1，或者 0<alpha<1 且 0<=beta<=1，

Lambda(alpha,beta,z)=Lambda(1-beta,alpha,z^(-1))-pizsum_(n=0)^2(2; n)(iz)^(-n)B_(2-n)(alpha)B_n(beta),
(4)

其中 B_k(x) 是 伯努利多项式，并且右侧的第二项可以显式地写成

-piz(alpha^2alpha+1/6)+pi/z(beta^2-beta+1/6)+2pii(alpha-1/2)(beta-1/2).
(5)

另请参阅

戴德金 Eta 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Apostol, T. M. "Iseki 变换公式" 和 "从 Iseki 公式推导戴德金函数方程。" §3.5-3.6 in 数论中的模函数与狄利克雷级数》，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 53-61, 1997.Iseki, S. "戴德金模函数变换公式及相关函数方程。" 杜克数学杂志 24, 653-662, 1957.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Iseki 公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Iseki 公式。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/IsekisFormula.html

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