比尔曼定理

比尔曼定理涉及将函数展开为另一个函数的幂级数。设 是 的函数，它在闭区域 内解析，其中 是一个内点，且设 。假设 。那么 泰勒定理 给出了展开式

(1)

并且，如果可以合法地反转这个级数，则得到表达式

(2)

它将 表示为变量 的 解析函数，对于足够小的 值。如果 在 附近解析，则 是 的 解析函数，当 足够小时，因此会存在以下形式的展开式

(3)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 129 页）。

展开式中的实际系数由以下定理给出，通常称为比尔曼定理（Whittaker 和 Watson 1990，第 129 页）。设 是由方程定义的 的函数

(4)

那么 解析函数 可以在 的某个值域内，展开成以下形式

(5)

其中余项是

(6)

且 是 -平面内包围点 和 的 轮廓线，使得如果 是 内的任何点，则方程 在 轮廓线 上或内部没有根，除了一个简单的根 （Whittaker 和 Watson 1990，第 129 页）。

泰谢拉定理 是比尔曼定理的扩展形式。拉格朗日反演定理 给出了另一个这样的扩展。