三次样条

三次样条是由分段三次样条构成的多项式，这些多项式穿过一组控制点。每个多项式的二阶导数通常在端点处设置为零，因为这提供了一个边界条件，完成了方程组。这产生了一个所谓的“自然”三次样条，并导致一个简单的三对角系统，可以很容易地求解以给出多项式的系数。然而，这种选择不是唯一可能的，并且可以使用其他边界条件来代替。

三次样条在 Wolfram 语言 中实现为BSplineCurve[pts,SplineDegree ->3].

考虑一组 点的一维样条 。根据 Bartels et al. (1998, pp. 10-13)，设样条的第 段表示为

(1)

其中 是参数 且 , ..., 。那么

			(2)
			(3)

对每个区间中的 求导，得到

			(4)
			(5)

求解 (2)-(5) 中的 、、 和 ，得到

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

现在要求二阶导数在点处也匹配，因此

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

对于内部点，以及端点满足

			(14)
			(15)

这总共给出了 个方程，用于求解 个未知数。为了获得另外两个条件，要求端点处的二阶导数为零，因此

			(16)
			(17)

重新排列所有这些方程（Bartels et al. 1998, pp. 12-13）得到以下优美的对称三对角系统

(18)

如果曲线是闭合的，则系统变为

(19)