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立方体剖分

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一个 立方体 可以被分割成 n 个子立方体，仅当 n=1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 和 n>=48 (OEIS A014544; Hadwiger 1946; Scott 1947; Gardner 1992, p. 297)。这个序列提供了所谓 Hadwiger 问题 的解，该问题询问一个立方体不能被平面切割分割成的最大子立方体数量（不必不同），答案是 47 (Gardner 1992, pp. 297-298)。

如果 m 和 n 在该序列中，那么 m+n-1 也在该序列中，因为在 m 剖分中对一个立方体进行 n 剖分，得到一个 (m+n-1) 剖分。数字 1, 8, 20, 38, 49, 51, 54 在序列中，因为剖分对应于以下等式

1^3=1^3
(1)
2^3=8·1^3
(2)
3^3=2^3+19·1^3
(3)
4^3=3^3+37·1^3
(4)
6^3=4·3^3+9·2^3+36·1^3
(5)
6^3=5·3^3+5·2^3+41·1^3
(6)
8^3=6·4^3+2·3^3+4·2^3+42·1^3.
(7)

结合这些事实给出了序列中剩余的项，以及所有数字 >47，并且已经证明没有其他数字出现。

不可能将一个立方体切割成尺寸都不同的子立方体 (Gardner 1961, p. 208; Gardner 1992, p. 298)。

SomaCube

用于构建 3×3×3 立方体剖分的七个部件，被称为 索玛立方体，是一个 3-立方体 和六个 4-立方体 (1·3+6·4=27)，如上图所示。

SteinhausCube

斯坦豪斯 (Steinhaus) (1999) 的另一个 3×3×3 立方体剖分使用了三个 5-立方体 和三个 4-立方体 (3·5+3·4=27)，如上图所示。 有两个解。

有可能将一个 1×3 矩形 切割成两个相同的部分，当折叠和连接时，它们将形成一个 立方体（不重叠）。 事实上，C. L. Baker 发现了这个问题的 无限 个解 (Hunter and Madachy 1975)。

Lonke (2000) 考虑了 f(j,k,n)，即随机 k 维中心截面的 n 立方体 B_infty^n=[-1,1]^n 的 j 维面的数量，并给出了特殊结果

f(0,k,n)=2^k(n; k)sqrt((2k)/pi)int_0^inftye^(-kt^2/2)gamma_(n-k)(tB_infty^(n-k))dt,
(8)

其中 gamma_(n-k) 是 (n-k) 维高斯概率测度。

另请参阅

康威谜题, 剖分, Hadwiger 问题, 立方体, Slothouber-Graatsma 谜题, 索玛立方体

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参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 112-113, 1987.Cundy, H. 和 Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 203-205, 1989.Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions: A New Selection. New York: Simon and Schuster, 1961.Gardner, M. "Block Packing." Ch. 18 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 227-239, 1988.Gardner, M. Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 297-298, 1992.Guy, R. K. "Research Problems." Amer. Math. Monthly 84, 810, 1977.Hadwiger, H. "Problem E724." Amer. Math. Monthly 53, 271, 1946.Honsberger, R. Mathematical Gems II. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 75-80, 1976.Hunter, J. A. H. 和 Madachy, J. S. Mathematical Diversions. New York: Dover, pp. 69-70, 1975.Lonke, Y. "On Random Sections of the Cube." Discr. Comput. Geom. 23, 157-169, 2000.Meier, C. "Decomposition of a Cube into Smaller Cubes." Amer. Math. Monthly 81, 630-633, 1974.Scott, W. "Solution to Problem E724." Amer. Math. Monthly 54, 41-42, 1947.Sloane, N. J. A. Sequence A014544 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 168-169, 1999.

在 Wolfram|Alpha 上引用

立方体剖分

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "立方体剖分。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CubeDissection.html

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