法方程上的共轭梯度法

共轭梯度法可以应用于法方程。CGNE 和 CGNR 方法是此方法的最简单变体，适用于非对称或不定系统。由于此类系统的其他方法通常比共轭梯度法更复杂，因此将系统转换为对称正定系统，然后应用共轭梯度法因其编码简单性而具有吸引力。

CGNE 求解以下系统

(1)

求解 然后计算解

(2)

CGNR 求解

(3)

求解解向量 ，其中

(4)

如果线性方程组 具有非对称、可能是不定（但非奇异）的系数矩阵，那么一种显而易见的解决方案是应用共轭梯度法到相关的对称正定系统 。虽然这种方法易于理解和编码，但共轭梯度法的收敛速度现在取决于原始系数矩阵的条件数的平方。因此，法方程上共轭梯度程序的收敛速度可能很慢。

已经提出了几项改进此方法数值稳定性的建议。最著名的是 Paige 和 Saunders (1982) 提出的，它基于将 Lanczos 方法应用于辅助系统

(5)

对此方案的巧妙执行会产生 LU 分解 的因子 和 ，该 LU 分解 是通过对 执行 Lanczos 过程计算出的 三对角矩阵 的 LU 分解。

Björck 和 Elfving (1979) 提出了另一种提高法方程方法数值稳定性的方法。观察到矩阵 通过诸如 之类的内积用于迭代系数的构造，因此建议将这种内积替换为 。