紧算子

如果 和 是 Banach 空间 且 是有界线性算子，则 被称为紧算子，如果它将 单位球 从 映射到 的相对紧子集（即 的具有紧闭包的子集）。

紧算子的基本例子是无限 对角矩阵 ，其中 。该矩阵给出了有界映射 ，其中 是平方可积序列的集合。它是一个紧算子，因为它是有限秩矩阵 的极限，这些矩阵与 具有相同的项，除了当 时 。也就是说， 只有有限多个非零项。

紧算子的性质类似于有限维 线性变换 的性质。对于 希尔伯特空间，任何紧算子 都是有限秩算子序列 的极限，即 的像是 中的有限维子空间。然而，正如 Enflo (1973) 所证明的那样，此性质在一般情况下不成立，他构造了一个 Banach 空间，该空间提供了一个反例，从而在否定意义上解决了 逼近问题。