主题
Search

Cayley 六次曲线

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
CayleysSextic

一条由麦克劳林发现但由凯莱首次详细研究的平面曲线。Cayley 六次曲线这个名称归功于 R. C. 阿奇博尔德，他在 1900 年于斯特拉斯堡发表的一篇论文中试图对曲线进行分类 (MacTutor Archive)。Cayley 六次曲线由极坐标给出：

r=4acos^3(1/3theta).
(1)

笛卡尔方程为

-a^3x^3-48ax(x^2+y^2)^2+64(x^2+y^2)^3 -3a^2(x^2+y^2)(5x^2+9y^2)=0.
(2)

参数方程可以由下式给出：

x(t)=4acos^3(1/3t)cost
(3)
y(t)=4acos^3(1/3t)sint
(4)

对于 0<t<3pi。在此参数化中，环对应于 pi<t<2pi。

外边界包围的面积是

A=(5pi+9/2sqrt(3))a
(5)
=23.50219...a
(6)

(OEIS A118308)，内环包围的面积是

A_(loop)=1/2(5pi-9sqrt(3))a^2
(7)
=0.05975299a^2...
(8)

(OEIS A118309)，整条曲线的弧长是

s=6pia.
(9)

弧长、曲率和切线角由下式给出：

s(t)=[2t+3sin(2/3t)]a
(10)
kappa(t)=(4sec^2(1/3t))/(3a),
(11)
phi(t)=4/3t.
(12)

另请参阅

Cayley 六次曲线渐屈线

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gray, A. 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 119-120, 1997.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 178 和 180, 1972.MacTutor History of Mathematics Archive. "Cayley 六次曲线。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cayleys.html.Sloane, N. J. A. 序列 A118308 和 A118309，来自“整数序列在线百科全书”。

请引用为

Weisstein, Eric W. “Cayley 六次曲线。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CayleysSextic.html

主题分类