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双共轭梯度稳定方法

双共轭梯度稳定 (BCGSTAB) 方法的开发是为了解决非对称线性系统，同时避免 共轭梯度平方方法（van der Vorst 1992）经常出现的不规则收敛模式。BCGSTAB 计算 i|->Q_i(A)P_i(A)r^((0))，而不是计算 共轭梯度平方方法 序列 i|->P_i^2(A)r^((0))，其中 Q 是描述最速下降更新的 i 次 多项式。

BCGSTAB 的收敛速度通常与 共轭梯度平方方法 (CGS) 相当，有时更快，有时则不然。CGS 可以看作是一种方法，其中 双共轭梯度方法 (BCG) “收缩”算子应用了两次。BCGSTAB 可以解释为 BCG 和重复应用 广义最小残差方法 的乘积。至少在局部范围内，残差向量被最小化，这导致了更平滑的收敛行为。另一方面，如果局部 广义最小残差方法 步骤停滞，则 Krylov 子空间不会扩展，BCGSTAB 将会崩溃。这是一种崩溃情况，除了底层 BCG 算法中的其他崩溃可能性之外，还可能发生这种情况。通过将 BCG 与其他方法结合使用，即通过为算法中的 omega_i 选择其他值，可以避免这种类型的崩溃。一种这样的替代方法是 BCGSTAB2 (Gutknecht 1993)。Sleijpen 和 Fokkema (1993) 提出了更通用的方法。

请注意，BCGSTAB 有两个停止测试：如果该方法已经在第一个关于 s 范数的测试中收敛，则后续更新在数值上将存在疑问。此外，在第一个测试时停止可以节省一些不必要的操作，但这并不重要。

BCGSTAB 需要两次矩阵-向量乘积和四个内积，即比 双共轭梯度方法 或 共轭梯度平方方法 多两个内积 (van der Vorst 2003)。

另请参阅

双共轭梯度方法, 切比雪夫迭代, 法方程上的共轭梯度方法 共轭梯度方法, 共轭梯度平方方法, 广义最小残差方法, 线性方程组, 最小残差方法, 拟最小残差方法 定常迭代法, 对称 LQ 方法

本条目的部分内容由 Noel Black 和 Shirley Moore 贡献，改编自 Barrett 等人 (1994) (作者链接)

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参考文献

Barrett, R.; Berry, M.; Chan, T. F.; Demmel, J.; Donato, J.; Dongarra, J.; Eijkhout, V.; Pozo, R.; Romine, C.; and van der Vorst, H. 线性系统求解模板：迭代方法的构建块，第二版。 Philadelphia, PA: SIAM, 1994. http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html.Gutknecht, M. H. "具有复谱矩阵的 Bi-CGSTAB 变体。" SIAM J. Sci. Comput. 14, 1020-1033, 1993.Sleijpen, G. L. G. and Fokkema, D. R. "用于处理具有复谱的非对称矩阵的线性方程的 Bi-CGSTAB(l)。" Elec. Trans. Numer. Anal. 1, 11-32, 1993.van der Vorst, H. "Bi-CGSTAB：一种用于求解非对称线性系统的 Bi-CG 的快速且平滑收敛的变体。" SIAM J. Sci. Statist. Comput. 13, 631-644, 1992.van der Vorst, H. 大型线性系统的迭代 Krylov 方法。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

在 Wolfram|Alpha 上引用

双共轭梯度稳定方法

请引用为

Black, Noel; Moore, Shirley; 和 Weisstein, Eric W. “双共轭梯度稳定方法。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BiconjugateGradientStabilizedMethod.html

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