Artin 映射

取 为一个 数域， 为一个 阿贝尔扩张，然后形成一个素除子 ，该素除子被扩张 的所有分歧素数整除。现在定义一个从与 互素的分式理想到 的 伽罗瓦群 的映射，该映射将一个理想 发送到 。这个映射被称为 Artin 映射。它的重要性在于核，Artin 互反律 指出该核包含所有仅由在扩张 中完全分裂的素数组成的分式理想。

这就是它成为互反律的原因。现在可以计算素数的惯性次数，因为最小的指数 ，使得 属于这个核（这正是惯性次数），现在已知。现在因为 是未分歧的，并且 是伽罗瓦扩张，，其中 是惯性次数， 是 扩展到 时分裂成的因子的数量。因此，完全已知 在扩展到 时的行为。

这与二次互反律完全类似，因为它也确定了未分歧的素数 何时分裂（，）或何时是惰性的（，）。当然，二次互反律要简单得多，因为在这种情况下只有两种可能性。

在 希尔伯特类域 的特殊情况下，这个核与扩张的普通类群重合。