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5阶完美幻方被发现

作者：Eric W. Weisstein

2003年11月18日——本周，德国数学教师 Walter Trump 和法国软件工程师 Christian Boyer 宣布发现了 5 阶完美幻方，从而解决了长期以来关于是否存在这种幻方的问题。

类似于幻方，幻立方被定义为一个 n x n x n 的整数阵列，其中 n² 行、n² 列、n² 柱以及四条空间对角线的数字之和都等于一个单一的数字 M(n)，这个数字被称为幻立方的幻和。如果一个 n 阶幻立方由连续数字 1, 2, ..., n³ 组成，则它被称为正规幻立方，其幻和由下式给出

如果只有上述 3n² + 4 条对角线的和等于幻和，则该立方体被称为半完美幻立方。然而，如果行、列、柱、空间对角线以及每个 n x n 正交切片的对角线（总共 6n 条正交对角线）的和都等于相同的数字，则该立方体被称为完美幻立方。

存在一个平凡的 1 阶完美幻立方，但不存在 2-4 阶的完美幻立方 (Schroeppel 1972, Gardner 1988)。长期以来，人们并不知道是否存在 5 阶或 6 阶的完美（正规）幻立方 (Wells 1986, p. 72)，尽管 Schroeppel (1972) 和 Gardner (1988) 指出，任何 5 阶正规完美幻立方的中心值必须为 63。

然后，在 2003 年 11 月 13 日，Trump 和 Boyer 发现了上面所示的 5 阶完美幻立方 (Schroeppel 2003, Boyer 2003)。正如预期的那样，这个幻立方的幻和为 315，中心值为 63。Trump 和 Boyer 使用的方法包括构建 3 阶辅助立方体。这些立方体是中心对称的，这意味着包括中心数字在内的所有 13 条由三个数字组成的线都满足恒等式 x + y + 63 = 189 以及许多其他部分幻方特征。Trump 和 Boyer 使用这些辅助立方体进行了大量的计算机搜索，以填充缺失的数字，主要使用互补数字 x + y + 189 = 315。由于这个过程，这个幻立方中存在许多对称性。经过数周的计算机搜索和构建超过 80,000 个不同的 3 阶辅助立方体后，Trump 和 Boyer 找到了第一个已知的 5 阶完美幻立方 (Boyer 2003)。

在 Trump 和 Boyer 宣布 5 阶完美幻立方之后不久，Trump 于 2003 年 9 月 1 日发现了第一个已知的 6 阶完美幻立方，如上图所示。这个幻立方是使用与攻击 5 阶幻立方类似的技术发现的 (Boyer 2003)。正如可以直接验证的那样，Trump 的 6 阶完美幻立方的幻和为 651。

令人高兴的是，幻立方爱好者不必担心幻立方不再有奥秘或挑战。即使现在已知 5 阶和 6 阶的完美幻立方，关于幻立方仍有很多未知之处。例如，如果一个幻立方及其每个条目平方后得到的立方体都是幻方的（尽管在这种情况下，平方后的立方体自然不再是正规的），则该幻立方被称为双重幻立方。已知的最小双重幻立方是 16 阶，而已知的最小完美双重幻立方是 32 阶。类似地，已知的最小三重幻立方是 64 阶，而已知的最小完美三重幻立方是 256 阶 (Boyer, Heinz)。由于尚未发现更小的例子，因此这个研究领域仍然对有进取心的“立方体研究者”敞开大门！