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一百美元的挑战

作者： Eric W. Weisstein

2002年2月4日——2002年1/2月刊的 SIAM News 杂志刊登了一个有趣的读者挑战。尼克·特雷费森在其中提出了10个计算问题，每个问题的答案都是一个实数。作者为在2002年5月20日之前计算出最多正确位数的人或团队提供了100美元的奖励。评分标准是每位正确数字得1分，每个问题最多得10分。

百美元百位数字挑战难题 的主题范围从 数值积分 到 全局最小化 再到 随机游走 的解法。

完整列表可以以 PDF 格式下载，并且为了方便起见，在中以及下方也进行了转载。解答应发送至 lnt@comlab.ox.ac.uk。

1. 是什么 $\lim_{\epsilon\to 0} \int_\epsilon^1 x^{-1}\cos(x^{-1}\ln x)\,dx$?

2. 一个光子在 $x$-$y$ 平面内以速度 1 运动，在 $t = 0$ 时从 $(x,y) = (0.5, 0.1)$ 出发，方向正东。在平面内的每个整数格点 $(i, j)$ 周围，都竖立着半径为 $1/3$ 的圆形镜子。光子在 $t = 10$ 时离原点有多远？

3. 无限矩阵 $\mathsf{A}$ 的元素为 $a_{11} = 1$, $a_{12} = 1/2$, $a_{21} = 1/3$, $a_{13} = 1/4$, $a_{22} = 1/5$, $a_{31} = 1/6$ 等等，是 $\ell^2$ 上的有界算子。 是什么 $\Vert\mathsf{A}\Vert$?

4. 函数的全局最小值是什么

\begin{displaymath}\mathop{\rm exp}\nolimits (\sin(50x)) + \sin(60e^y) + \sin(70... ...\sin(80y)) - \sin(10(x + y)) + {\textstyle{1\over 4}}(x^2+y^2)?\end{displaymath}

5. 设 $f(z)=1/\Gamma(z)$，其中 $\Gamma(z)$ 是 伽玛函数，令 $p(z)$ 为在 单位圆盘 上以 上确界范数 $\Vert\cdot\Vert _\infty$ 最佳逼近 $f(z)$ 的 三次多项式 $\Vert f-p\Vert _\infty$?

6. 一只跳蚤从无限二维整数格点上的 $(0, 0)$ 出发，进行有偏 随机游走：每一步，它以 1/4 的概率向北或向南跳跃，以概率 $1/4 + \epsilon$ 向东跳跃，并以概率 $1/4 - \epsilon$ 向西跳跃。跳蚤在其游荡过程中某次返回 $(0, 0)$ 的概率为 1/2。 是多少 $\epsilon$？

7. 令 $\mathsf{A}$ 为 $20{,}000\times 20{,}000$ 矩阵，除了主 对角线 上的素数 2, 3, 5, 7, ..., 224737 和所有位置 $a_{ij}$ 且 $\vert i-j\vert = 1$, 2, 4, 8, ..., 16384 的数字 1 之外，其他位置的元素均为零。 是 $\mathsf{A}^{-1}$?

8. 一块正方形板 $[-1, 1]\times [-1, 1]$ 的温度为 $u = 0$。在时间 $t = 0$ 时，其中一条边的温度升高到 $u = 5$，而其他三条边保持在 u = 0，然后热量根据以下公式流入板中 $u_t = \Delta u$。当板中心温度达到 $u = 1$ 时，时间是多少？

9. 积分 $I(\alpha)=\int_0^2 [2 + \sin(10\alpha)]x^\alpha \sin(\alpha/(2- x))\,dx$ 取决于参数 $\alpha$。在哪个值 $\alpha\in[0, 5]$ 时，$I(\alpha)$ 达到最大值？

10. 位于 $10\times 1$ 矩形 中心的一个粒子进行布朗运动（即，步长无限小的二维随机游走），直到它到达边界。它在端点而不是侧边击中的概率是多少？

参考文献

Trefethen, N. "A Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge." http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf