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Wolfram 迭代

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Wolfram 迭代是一种使用有理数 r 的 二进制 表示的属性来计算有理数 有理数 1<=r<4 的 平方根 的算法。该算法从 (u_0,v_0)=(r,0) 开始，然后迭代

u_(n+1)={4(u_n-v_n-1) if u_n>=v_n+1; 4u_n if u_n<=v_n
(1)
v_(n+1)={2(v_n+2) if u_n>=v_n+1; 2v_n if u_n<=v_n.
(2)

解释为二进制数，v_n 然后收敛于 sqrt(r)。

WolframsIteration

例如，对于 r=2（即，勾股常数），u_n 由 2, 4, 16, 28, 28, 112, 92, 368, 28, ... (OEIS A095803) 给出，v_n 由 0, 4, 8, 20, 44, 88, 180, 360, 724, ... (OEIS A095804) 给出。 v_n 连续项的二进制表示（“二进制”点在第一项之后移动）然后是

1.00_2 1.000_2 1.0100_2 1.01100_2 1.011000_2 1.0110100_2,
(3)

如上所示，可以看出这会产生 sqrt(2) 二进制表示中位数不断增加，

sqrt(2)=1.0110101000001001111..._2
(4)

(OEIS A004539)。 解释每一步产生的二进制分数，得到近似序列 1, 1, 5/4, 11/8, 11/8, 45/32, 45/32, 181/128, 181/128, ... (OEIS A095805 和 A095806)。

另请参阅

平方根, 平方根算法

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A004539, OEIS A095803, OEIS A095804, OEIS A095805, 和 OEIS A095806。”Wolfram, S. 一种新科学。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 140-141 和 913, 2002.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Wolfram 迭代

引用为

Weisstein, Eric W. "Wolfram 迭代。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WolframsIteration.html

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