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沃罗宁普遍性定理

沃罗宁 (1975) 证明了 黎曼 zeta 函数 zeta(s) 的显著分析性质，粗略地说，任何非零 解析函数 都可以通过 zeta 函数在 临界带 中的某些纯虚位移来一致逼近。

更精确地说，设 0<r<1/4 并假设 g(s) 是圆盘 |s|<=r 上的非零 连续函数，且在内部解析。那么对于任何 epsilon>0，存在一个正实数 tau 使得

max_(|s|<=r)|zeta(s+3/4+itau)-g(s)|<epsilon.

此外，这些 tau 的集合具有正下密度，即，

liminf_(T->infty)1/Tmeas{tau in [0,T]:max_(|s|<=r)|zeta(s+3/4+itau)-g(s)|<epsilon} >0.

Garunkštis (2003) 获得了第一个逼近 tau 和正下密度的显式估计，前提是 r 足够小且 g(s) 足够平滑。 g(s) 在 |s|<=r 上没有零点的条件是必要的。

已知黎曼猜想为真，当且仅当 zeta(s) 可以按照沃罗宁定理的意义一致逼近自身 (Bohr 1922, Bagchi 1987)。 也已知存在大量的 狄利克雷级数，具有此种或类似的普遍性性质 (Karatsuba 1992, Laurinčikas 1996, Matsumoto 2001)。

另请参阅

黎曼猜想, 黎曼 Zeta 函数

本条目由 Joern Steuding 贡献

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参考文献

Bagchi, B. "Recurrence in Topological Dynamics and the Riemann Hypothesis." Acta Math. Hungar. 50, 227-240, 1987.Bohr, H. "Über eine Quasi-Periodische Eigenschaft Dirichletscher Reihen mit Anwendung auf die Dirichletschen L-Funktionen." Math. Ann. 85, 115-122, 1922.Garunkštis, R. "The Effective Universality Theorem for the Riemann Zeta Function." Bonner math. Schriften 360, 2003.Karatsuba, A. A. and Voronin, S. M. The Riemann Zeta-Function. Hawthorn, NY: de Gruyter, 1992.Laurinčikas, A. Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1996.Matsumoto, K. "Probabilistic Value-Distribution Theory of Zeta Functions." Sugaku 53, 279-296, 2001. Reprinted in Sugaku Expositions 17, 51-71, 2004.Voronin, S. M. "Theorem on the Universality of the Riemann Zeta Function." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39, 475-486, 1975. Reprinted in Math. USSR Izv. 9, 443-445, 1975.

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沃罗宁普遍性定理

请引用为

Steuding, Joern. “沃罗宁普遍性定理。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/VoroninUniversalityTheorem.html

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