展开

展开是指沿着棱切割并展平多面体以形成网格。确定如何将多面体展开成网格是很棘手的。例如，不能沿着围绕面的所有棱进行切割，否则面将完全分离。此外，对于没有共面面的多面体，必须从每个顶点至少切割一条棱，否则多面体将无法展平。事实上，必须切割的棱对应于一种特殊的图，称为骨架的多面体的生成树 (Malkevitch)。

1987年，K. Fukuda 推测，凸多面体都不允许自重叠展开。上面的顶图显示了 M. Namiki 发现的对该推测的反例。随后也发现了可展开的四面体（上面的底图）。G. Valette 也发现了另一个允许重叠展开的非正则凸多面体（在 Buekenhout 和 Parker 1998 年中展示）。

由相同的网格构造不同的多面体的例子并不难构造，但 Fukuda 推测每个凸多面体都可以从其任何展开图中唯一地构造出来。上面显示的反例是由 T. Matsui 发现的。

关于每个凸多面体是否允许自非重叠展开（Shephard 1975）的问题仍然未解决 (Malkevitch)。Shephard 猜想指出（并且大多数数学家相信）答案是肯定的。

也可以考虑沿多面体棱以外的其他路径进行切割。例如，星形展开是一种通过沿其表面上的最短路径切割来展开多面体的方法。Aronov 和 Rourke (1992) 证明，每个凸三维多面体都有一个星形展开 (Malkevitch)。