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三角形幂

一个三角形的总幂定义为

P=1/2(a_1^2+a_2^2+a_3^2),
(1)

其中 a_i 是边长，而 “部分幂” 定义为

p_1=1/2(a_2^2+a_3^2-a_1^2).
(2)

那么

p_1=a_2a_3cosalpha_1
(3)
P=p_1+p_2+p_3
(4)
P^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2=a_1^4+a_2^4+a_3^4
(5)
Delta=1/2sqrt(p_2p_3+p_3p_1+p_1p_2)
(6)
p_1=A_1H_2^_·A_1A_3^_
(7)
(a_1p_1)/(cosalpha_1)=a_1a_2a_3=4DeltaR
(8)
p_1tanalpha_1=p_2tanalpha_2=p_3tanalpha_3,
(9)

其中 Delta 是面积，而 H_i 是垂足。

最后，如果给定三角形的一条边和任何部分幂的值，那么第三个多边形顶点的轨迹是一个圆或直线。

另请参阅

高线, 圆幂, 垂足, 三角形

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Johnson, R. A. 现代几何学：三角形和圆的几何学基础论述。 波士顿，马萨诸塞州：霍顿·米夫林出版社，第 260-261 页，1929 年。

在 Wolfram|Alpha 中引用

三角形幂

请引用为

Weisstein, Eric W. “三角形幂。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TrianglePower.html

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